上海市华东师范大学附属东昌中学2023-2024学年高二（上）期末考试数学试卷（含解析）

这是一份上海市华东师范大学附属东昌中学2023-2024学年高二（上）期末考试数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023学年度第一学期期末考试高二数学试卷
一、填空题（本大题有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题答对得4分，否则得零分；第7题至第12题每题答对得5分，否则得零分）
1．函数的导数 .
2．设函数在处的导数为2，则 .
3．的展开式中项的系数为 ．
4．双曲线的渐近线方程为，则实数的值为 ．
5．从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数，则可以组成不同的两位数的个数为 ．
6．若直线与圆相切，则实数 ．
7．名男生和名女生站成一排照相，则男生站在一起的概率为 ．
8．已知是函数的极大值点，则 .
9．抛物线，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为 .
10．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
11．已知关于的方程有且仅有一个实数根，其中实数，且，若，则的可能取值共有 种.（请用数字作答）
12．已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的离心率为 ．
二、选择题（本大题有4题，满分18分，每题有且只有一个正确选项，第13题第14题答对得4分，否则得零分：第15题第16题答对得5分，否则得零分）
13．若，则n的值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
14．已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
15．函数的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，则额外获得2分．
(1)求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数；
(2)求学生乙最终获得分的不同的抽法种数．
18．把称为的二项展开式所有项的二项式系数之和，其中是正整数．
(1)若的所有项的二项式系数的和为，求展开式的常数项；
(2)若展开式中第项系数为，求的展开式中的系数．
19．二十大报告中提出：全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展.小王大学毕业后决定利用所学专业回乡自主创业，生产某农副产品.经过市场调研，生产该产品需投入年固定成本4万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，.每件产品售价8元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本）
(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
20．已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点A，B.
(1)求的方程；
(2)若直线l的方程为，点关于直线l的对称点N（与M不重合）在椭圆上，求t的值；
(3)设，直线PA与椭圆的另一个交点为C，直线PB与椭圆的另一个交点为D，若点C，D和点三点共线，求k的值.
21．已知函数．
(1)当时，求在处的切线的斜率；
(2)当时，求函数的单调递增区间；
(3)记函数的图像为曲线，设点是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，满足：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”．试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由．
参考答案与解析
1．
【分析】利用导数运算求得正确答案.
【解答】由于，
所以.
故答案为：
2．2
【分析】根据导数的定义即得.
【解答】因为函数在处的导数为2，即，
所以，
故答案为：2.
3．
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【解答】的展开式中项的系数为.
故答案为：
4．
【分析】根据双曲线的渐近线方程求得.
【解答】由于双曲线的渐近线方程为，
所以.
故答案为：
5．12
【分析】根据排列的含义，以及排列数的计算，即得答案.
【解答】从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数，
可以组成不同的两位数的个数为，
故答案为：12
6．或
【分析】根据直线和圆的位置关系列方程，由此求得的值.
【解答】圆的圆心为，半径为，
由于直线与圆相切，
所以，
解得或.
故答案为：或
7．##
【分析】根据排列以及古典概型概率计算公式求得正确答案.
【解答】名男生和名女生站成一排照相，基本事件有种，
其中男生站一起的事件有种，
所以男生站在一起的概率为.
故答案为：
8．
【分析】根据导函数的正负得原函数的单调性，从而得到极大值 .
【解答】由已知得
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以在处取得极大值.
故得解.
【点拨】本题考查函数的极值，属于基础题.
9．2
【分析】利用梯形中位线定理，结合抛物线的定义，先求出弦的中点到准线的距离，最后求出弦的中点的横坐标.
【解答】抛物线的准线的方程为：，焦点为,分别过，
作，垂足为，在直角梯形中，，
由抛物线的定义可知：，因此有，
所以点的横坐标为.
故答案为：2.
10．
【分析】根据函数在区间上单调递增，得到函数在上成立，再由题意即可得出的取值范围.
【解答】因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上函数，所以
设，，
函数在区间上单调递增，
所以只需即可.
故答案为：.
11．
【分析】根据的取值进行分类讨论，由此求得正确答案.
【解答】，当时等号成立，
，当时等号成立，
画出的大致图象如下图所示，
由题意可得，与和与的间隔相等，
记的一个取值为，
若和间隔为，且，
则可能取值有，共种，
若和间隔为，且，
则可能取值有，共种，
所以总的可能有种.
故答案为：
12．##
【分析】设，根据勾股定理得到，确定，中，根据余弦定理得到，得到离心率.
【解答】不妨取为上顶点，如图所示：
则，设，则，则，
整理得到，，
中，根据余弦定理：，
整理得到，即.
故答案为：.
13．D
【分析】根据组合数公式运算求解
【解答】由组合数计算公式，解得或（舍去）.
故选：D.
14．C
【分析】根据方程表示的几何意义结合抛物线定义，即可判断出答案.
【解答】方程变形为，
表示动点到点和直线的距离相等，
所以动点的轨迹是以为焦点的抛物线，
故选：C.
15．A
【分析】利用排除法，先利用函数值正负的分布判断B错误，再利用特殊值判断D错误,根据极值点确定C错误，即得答案.
【解答】函数中，，当时,,看图像知B选项错误；
函数中，，当时,, 看图像知D选项错误；
解得，故为函数的极值点，故C选项不符合，A选项正确.
故选：A.
16．B
【分析】根据椭圆的定义转化，结合三点共线来求得的取值范围.
【解答】依题意，，，，
，，
所以，当位于线段与椭圆交点处时等号成立.
根据椭圆的定义可知，
如图所示，设的延长线与椭圆相交于，
则当位于时，取得最大值为，
综上所述，的取值范围为.
故选：B
【点拨】在椭圆中，求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值，可以考虑通过椭圆的定义进行转化，然后结合三点共线来确定最值.在解题过程中，要画出对应的图象，结合图象来进行求解.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据组合数的知识求得正确答案.
（2）根据分的组合情况进行分类讨论，由此求得正确答案.
【解答】（1）学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数为种.
（2）学生乙最终获得分，有两种情况：
①，抽到张“龙”卡以及其它任意张卡，方法数有种.
②，抽到抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，方法数有种.
所以学生乙最终获得分的不同的抽法种数为种.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据有项的二项式系数的和求得，根据二项式展开式的通项公式求得常数项.
（2）根据展开式中第项的系数求得，根据二项式展开式的通项公式求得的系数.
【解答】（1）若的所有项的二项式系数的和为，
则，展开式的通项公式为，
令，所以，展开式的常数项为.
（2）展开式的通项公式为，
若展开式中第项系数为，
即，
则，
含的项为
，
所以的系数为.
19．(1)
(2)当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.
【分析】（1）分和讨论计算即可；
（2）当时，利用导数求出其最值，时，利用基本不等式求出其最值，比较大小即可.
【解答】（1）由题意，当时，，
当时，.
所以.
（2）当时，，令，解得.
当，，当，；
则在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，
当时，，当且仅当，即时取等号.
综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.
20．(1)
(2)
(3).
【分析】（1）根据长轴，离心率及求出椭圆方程；
（2）设点关于直线l的对称点为，列出方程组，求出，代入椭圆方程，求出值，舍去不合要求的值；
（3）设和直线PA的方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出，同理设，得到，根据三点共线得到方程，求出答案.
【解答】（1）设椭圆的焦距为2c，
因为椭圆的长轴长为，离心率为，
所以，，所以，
所以.
故椭圆的方程为.
（2）设点关于直线l的对称点为，
则，解得，则，
由N在椭圆P上，可得，
整理得，解得或.
当时，点与点M重合，舍去，
当时，点，满足要求.
（3）设，，，，则，.
又，设PA的斜率为，则，直线PA的方程为，
由消去y并整理得，
则，所以.
又，所以，
所以，则，
同理可求得.又，
则，
.
由点C，D和点三点共线，所以，
则，
可得，则.
【点拨】直线与圆锥曲线的位置关系，处理三点共线，四点共圆，或两直线倾斜角互补或相等问题时，往往会转化为斜率之和为0或斜率相等或转化为向量来进行解决，进而列出方程，代入计算即可.
21．(1)
(2)增区间为、
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用导数求得切线的斜率.
（2）求出函数的定义域，求得，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间；
（3）假设函数存在“中值相依切线”，求出函数的，结合导数的几何意义，可得出，再令，构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，判断方程在上的解的情况，即可得出结论.
【解答】（1）当时，，，
即在处的切线的斜率为.
（2）函数的定义域为，
，
因为，则，
由可得或，
所以，函数的增区间为、.
（3）假设函数存在“中值相依切线”，
设、是曲线上不同的两个点，且，
则，，
则，
因为，
则，
由可得，
即，则，
令，则，则，
故函数在上单调递增，则，
故在上无解，假设不成立，
综上，假设不成立，所以函数不存在“中值相依切线”.
【点拨】关键点点拨：本题考查导数中的新定义“中值相依切线”，解题时要紧扣题中定义，结合题意变形得出，通过换元法结合函数方程思想转化为在上的零点问题为解本题的关键.