重庆市第八中学校2023-2024学年高二（上）期末考试数学试题（含解析）

这是一份重庆市第八中学校2023-2024学年高二（上）期末考试数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知事件与事件互斥，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知椭圆 的左焦点是双曲线 的左顶点，则双曲线的渐近线为（ ）
A．B．C．D．
3．已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差（ ）
A．3B．2C．D．4
4．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）． 已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A．0.9B．C．1.2D．1.05
5．在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．直线 与圆 相交于两点，若 ，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于 两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列满足，且，记数列的前 项和为，则（ ）
A．B．C．D．2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．重庆八中组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），如图所示，画出频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A．成绩在区间内的学生有46人B．图中的值为
C．估计全校学生成绩的中位数约为D．估计全校学生成绩的分位数为90
10．已知圆和圆，则下列说法不正确的是（ ）
A．圆与圆有四条公切线
B．点为圆上一动点，的最大值为
C．圆与圆的公共弦所在直线方程为
D．圆与圆的公共弦长为
11．设数列 的前 项和为 ，满足 ，其中，，则下列选项正确的是（ ）
A．为等差数列
B．
C．当时，有最大值
D．设，则当或时，数列的前项和取得最大值
12．已知双曲线，过左焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，过右焦点作一条直线交双曲线的右支于两点，的内切圆与相切于点，则下列选项正确的是（ ）
A．线段的最小值为
B．的内切圆与直线相切于点
C．当时，双曲线的离心率为
D．当点关于点的对称点在另一条渐近线上时，双曲线的渐近线方程为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在等比数列 中，，则 ．
14．某公司招新面试中有3道难度相当的题目，小明答对每道题目的概率都是0.7.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，则小明最终通过面试的概率为 .
15．已知数列满足，则数列的前8项和 ．
16．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于 两点，若，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分． 请将正确答案做在答题卷相应位置，有必要的推理或证明过程．
17．为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图．
(1)估计这100名学生的平均成绩；
(2)若在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在内的所有学生测试成绩的平均数和方差．
18．已知数列的首项，设为数列的前项和，且有．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点为棱上的点，且．
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的大小．
20．已知抛物线过点，过点作直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，其中为原点．
(1)求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)证明：为线段的中点．
21．已知等差数列的首项，公差．记的前项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求公差的取值范围．
22．设椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点是线段的中点，点是线段的中点．
(1)若为坐标原点，且的面积为，求直线的方程；
(2)求面积的最大值．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据事件概率的基本运算法则直接计算求解.
【解答】对于A，由于不清楚事件与事件是否相互独立，所以无法计算，故A错误；
对于B，因为事件与事件互斥，所以，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B
2．D
【分析】根据椭圆和双曲线相关基本知识直接求解即可.
【解答】设椭圆焦距为，
则，则，所以椭圆 的左焦点为，
所以双曲线 的左顶点为，
所以，所以，
所以双曲线 的渐近线为.
故选：D
3．B
【分析】根据等差数列通项公式和求和公式直接计算求解.
【解答】由题意得，，解得.
故选：B
4．A
【分析】根据题意建立平面直角坐标系求出抛物线方程即可得到答案.
【解答】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上，
设抛物线方程为，代入，
所以，解得，所以抛物线方程为，
则该抛物线的焦点到顶点的距离为.
故选：A
5．C
【分析】通过平行关系将异面直线夹角转化为相交直线夹角，结合等腰三角形性质求解正弦值即可.
【解答】如图所示，取中点，连接，取中点，连接，
则，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以或其补角是异面直线与所成角，
设正方体棱长为2，则，
在等腰中，是中点，所以，
所以，
即异面直线与所成角的正弦值为.
故选：C
6．C
【分析】利用垂径定理及勾股定理表示出弦长，列出关于的不等式，求出不等式的解集，即可得到的范围.
【解答】由圆的方程得：圆心，半径，
圆心到直线，即的距离，
，
变形整理得，即，解得，
的取值范围是，
故选：C.
7．C
【分析】根据得到，结合点差法相关知识计算求得，进而求得离心率.
【解答】如图所示，
因为，所以，
所以，
设，
则，两式相减得，
则，
因为直线，为线段中点，，
所以，，
代入上式得，则，
所以椭圆的离心率.
故选：C.
8．A
【分析】按为奇数和偶数讨论得到的通项公式，利用裂项相消法求数列的前项和.
【解答】，当时，，，
两式相减得，，
所以的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，，
当时，，，两式相减得，，
所以的偶数项是以5为首项，为公差的等差数列， ；
所以，，
设，则，
所以
，则.
故选：A
9．BC
【分析】根据题目中的频率分布直方图，结合中位数和百分位数相关概念求解即可.
【解答】对于A，成绩在区间内的学生有人，故A错误；
对于B，由图表可知，，所以，故B正确；
对于C，因为，，
所以设全校学生成绩的中位数，
所以，解得，故C正确；
对于D，设全校学生成绩的分位数为，
则，解得，故D错误.
故选：BC
10．A
【分析】根据圆心距和两圆半径的比较，即可得出两圆相交，判断选项A，由对称性判断B，联立两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，判断C，利用点到直线的距离公式和勾股定理即可求解公共弦长判断选项D.
【解答】对于A：由题知，，，，，则，
又，即，
所以圆与圆相交，有两条公切线，A错；
对于B：点为圆上一动点，则的最大值为，故B正确；
对于C：联立得，
故圆与圆的公共弦所在直线方程为，C正确；
对于D：点到的距离为，
所以圆与圆的公共弦长为，D正确.
故选：A
11．ABD
【解答】因为，所以，
又因为，，所以，
所以数列是首项19，公差为的等比数列，
即.故选项A正确.
因为，所以，故选项B正确.
因为，所以当时，有最大值，故选项C错误.
因为，
因为，所以，，
故，，
，，
设数列的前项和为，
则由以上计算可知且
所以当或时，数列的前项和取得最大值，故选项D正确.
故选：ABD.
12．BCD
【分析】设出直线方程，联立双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式可判断A，根据双曲线的定义和内切圆性质可判断B，由题可得进而可判断C，根据条件可得渐近线与x轴的夹角为可判断D.
【解答】设双曲线的右焦点为，，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，则，
当直线斜率存在时，设直线的方程为
联立，消去，得，
，
由，解得或，
所以
，
所以当直线与轴垂直时，的长最小，即最小值为，故A错误；
设的内切圆与三角形三边的切点分别是，由切线长性质，可得
，
因为，所以，所以与重合，
即的内切圆与直线AB相切于点，故B正确；
由题可知双曲线的渐近线为，，则，
由上可知，所以，所以，故C正确；
若关于P点的对称点在另一条渐近线上时，则渐近线与x轴的夹角为，则其渐近线方程为，故D正确.
故选：BCD.
【点拨】关键点拨：本题A选项的关键是采用设线法联立双曲线方程，利用弦长公式证明出双曲线焦点弦中通径最短的结论.
13．12
【分析】根据等比数列的通项公式可得结果.
【解答】设等比数列的公比为，，所以，
所以，
故答案为：12.
14．##
【分析】根据独立事件概率乘法公式可求得无法通过面试的概率，根据对立事件概率的求法可求得结果.
【解答】小明无法通过面试的概率为，
小明最终通过面试的概率为.
故答案为：.
15．502
【分析】根据取倒数构造等比数列，结合等比数列求和公式即可得到答案.
【解答】由，取倒数得，
所以，
因为，所以，所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，则，
所以数列的前8项和.
故答案为：502
16．2
【分析】根据题意计算得到点坐标，再代入抛物线方程求解答案即可.
【解答】由题意得，直线斜率不为0，设其方程为，，，
由，得，
当时，，
因为，所以，代入上式解得，
因为，所以，
代入抛物线方程，得，
化简得，，又因为，所以.
故答案为：2
17．(1)69.5分
(2)平均数80，方差112
【分析】（1）根据频率分布直方图直接求平均数即可；
（2）利用平均数和方差公式直接计算求解即可.
【解答】（1）由图表可知，这100名学生的平均成绩为分
（2）在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，
区间的学生频率为，
在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，
区间的学生频率为，
所以在内的所有学生测试成绩的平均数为，
方差为
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据得到，两式相减构造常数列即可求出数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求和方法进行求和即可
【解答】（1）由，
当时，，
两式相减，得，即，
即对恒成立，所以是常数列，
所以，所以
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
两式相减，得，
所以
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；
（2）根据题意建立合适的空间直角坐标系，结合线面角的计算公式求解即可.
【解答】（1）因为四边形为矩形，所以，
又因为，平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以
（2）由（1）知，平面，
因为平面，所以，
所以在中，，
所以，所以，
以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面法向量为，
则，令，则，
设直线与平面所成角的大小为，
则，
所以，即直线与平面所成角的大小为
20．(1)抛物线的方程为，焦点，准线
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线过点代入求出抛物线方程，再求焦点和准线即可；
（2）设，由题意得到，再计算验证即可.
【解答】（1）因为抛物线过点，
所以，解得，所以抛物线的方程为，
所以抛物线的焦点为，准线为
（2）设，
因为过点作直线与抛物线交于不同的两点，直线斜率存在，
所以，即，
所以，则，
因为，所以，又由，得
则过点作轴的垂线为，直线，，
所以，，
所以，
所以，
又因为三点都在上，所以为线段的中点得证
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式直接代入计算即可；
（2）根据等比数列的性质得到，通过代入和整理，得到对于每个，存在实数使此式成立，则，结合不等式特征求解即可.
【解答】（1）因为等差数列的首项，公差为，
所以，，，
因为，所以，
化简得，因为，所以，
所以
（2）由题意得，，，
，
因为成等比数列，
所以，
则，
化简整理得，对于每个，存在实数使此式成立，
则，即，
即，
当时，符合题意；
当时，则二次函数开口向上，
则，原不等式解为，
所以相差距离为，则之间一定有一个整数，
所以只能为，即，所以.
综上所述，公差的取值范围为
22．(1)
(2)
【分析】（1）分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时设直线方程与椭圆方程联立消元，利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，根据已知列方程可解；
（2）分直线过原点和不过原点，当不过原点时设直线方程与椭圆方程联立消元，利用韦达定理表示出M坐标，再由中点坐标公式得P点坐标，代入椭圆方程可得k和b的关系，然后利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积（注意），然后用导数求最值.
【解答】（1）在椭圆中，，此时点P坐标为，
当直线的斜率不存在时，易知，，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程得，
即，所以，
所以，
因为点P到直线的距离为，
则有，方程无解，不符合题意.
综上，直线的方程为
（2）由（1）知，当直线过原点且斜率存在时，
，
故直线过原点时面积最大值为；
当直线不过原点时，易知直线斜率一定存在，设方程为，
代入椭圆方程整理可得①，
记，则，
所以，
则，
将代入上式，
得，
整理得，代入①，得，
又点F到直线AB的距离为，
则，
整理得，
令，，则，
易知当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
故当时，，
所以，
又直线与椭圆有两个交点，所以，解得，
故当，即时，面积的有最大值.
综上，面积的最大值为.
【点拨】关键点点拨：本题考查椭圆三角形最值问题.设而不求是圆锥曲线中最常用的方法之一，本题关键点在于通过各点之间的关系，结合韦达定理表示出M坐标，进而得到点P坐标，借助P点在椭圆上作为突破口进行求解，本题考查转化与化归能力和运算能力，属于难题.