上海市徐汇区2023-2024学年高一（上）学习能力诊断卷（期末）数学试卷（含解析）

这是一份上海市徐汇区2023-2024学年高一（上）学习能力诊断卷（期末）数学试卷（含解析），共13页。

考生注意：
1.本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分120分.
2.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息.
3.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分.
一、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分）考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.
1．已知集合，，则 .
2．不等式的解集为 ．
3．若，则 .
4．函数的零点，对区间利用一次“二分法”，可确定所在的区间为 .
5．函数（且的图像过定点 .
6．某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长，若要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，则至少需要经过 年（结果精确到整数）.
7．用函数的观点解不等式，该不等式的解集为 .
8．若是奇函数，当时，则 ．
9．设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为 .
10．已知函数，的最大值为3，最小值为2，则实数的取值范围是 .
11．已知问题：“恒成立，求实数的取值范围”.两位同学对此问题展开讨论：小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题.请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数的取值范围 ．
12．已知函数，其中.若关于x的方程恰有四个不同的实数根，则该方程所有实数根之和的取值范围是 .
二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题卷的相应编号上，将代表正确选项的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.
13．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
14．若，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
15．若，则等于
A．B．
C．D．
16．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数（）的图像不可能是（ ）
A．B．
C．D．
三、解答题（本大题共有5题，满分56分）解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
17．已知集合，且．
(1)若，求实数a组成的集合．
(2)若全集为A，，求m，a的值．
18．已知函数.
(1)求方程的解；
(2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围.
19．已知a是实数，定义在上的函数是奇函数，其中.
(1)求a的值；
(2)判断函数的单调性，并证明你的结论.
20．某中学筹办年校庆，需为参加校庆的校友、嘉宾每人准备一份纪念品，共需要准备份纪念品，每份纪念品包含一支钢笔和一个保温杯，现需要将钢笔和保温杯装入精品礼盒.校庆筹备小组共有人，现将其分成两组，一组完成钢笔的装盒工作，另一组完成保温杯的装盒工作，据测算，人一天可完成支钢笔的装盒工作，人一天可完成个保温杯的装盒工作.
(1)若安排人完成钢笔的装盒工作，则完成纪念品装盒工作的工期为多久?
(2)如何安排两组的人数，才能使工期更短?
21．若函数满足对任意，都有，则称该函数为C函数.
(1)若，求证：函数是C函数；
(2)若函数是上的严格减函数，判断是否一定为C函数，并说明理由.
参考答案与解析
1．
【分析】求解出一元二次不等式的解集为集合，然后根据交集运算求解出结果.
【解答】因为，所以，所以，
因为，所以，
故答案为：.
2．
【分析】由题设可得，利用分式不等式的解法求解即可.
【解答】由题设，，
∴，解得，
∴解集为.
故答案为：
3．
【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确运算，即可求解.
【解答】由对数的运算性质，可得，
可得，所以.
故答案为：.
4．
【分析】根据二分法的定义求解.
【解答】设，则，
取区间的中点为，，
所以可确定所在的区间为，
故答案为: .
5．
【分析】由指数函数的性质可得.
【解答】当时，，
故图像过定点，
故答案为：.
6．12
【分析】由于林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长10%，那么假设该林区当前的木材蓄积量为1，则经过x年的木材蓄积量为，依题意：可令，解不等式，再计算取精确值即可.
【解答】假设该林区当前的木材蓄积量为1，则经过x年的木材蓄积量为．
由于要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍则可得，得．
因为，所以，故至少需要经过12年．
故答案为：12.
7．
【分析】由不等式可得，令函数再根据函数单调性即可求解.
【解答】由不等式，得，
令函数，定义域为，
因为，均为定义域内的增函数，
所以在定义域内单调递增，且，
对应不等式即为，从而得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
8．
【分析】根据题设条件，利用，即可求解.
【解答】由题意，函数是奇函数，当时，
所以.
故答案为：.
9．
【分析】由函数的定义域可求得实数的值，可得出函数的解析式，求出的值，然后利用指数函数的单调性可解不等式，即可得其解集.
【解答】若，对任意的，，则函数的定义域为，不合乎题意，
所以，，由可得，
因为函数的定义域为，所以，，解得，
所以，，则，
由可得，解得.
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
10．
【分析】画出函数的图像，对称轴为，函数在对称轴的位置取得最小值2，令，可求得，或，进而得到参数范围.
【解答】
函数的图象是开口朝上，且以直线为对称的抛物线，
当时，函数取最小值2，
令，则，或，
若函数在上的最大值为3，最小值为2，
则，
故答案为：.
11．
【分析】根据三角不等式求出最小值即可得解.
【解答】根据三角不等式，
所以恒成立，只需，
所以或
解得.
故答案为：
12．
【分析】令，画出图像如图所示，利用数形结合思想，结合二次函数的对称性，对数函数的运算和性质，对勾函数的单调性求解.
【解答】，画出图像如图所示.
方程等价于，方程有4个不同的实数根，即函数的图象与水平直线有4个不同的交点，故.
设四个交点的横坐标从左到右依次为，如图所示，可知，，
结合,得所以.
又因为，所以，所以，所以，
由于函数在上单调递减，所以，
，
所以题设方程所有实数根之和的取值范围是.
故答案为：
13．C
【分析】根据相同函数的知识确定正确答案.
【解答】A选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数.
B选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数.
C选项，，两个函数定义域、值域、对应关系相同，是相同函数.
D选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数.
故选：C
14．B
【分析】利用充分条件与必要条件直接判断即可.
【解答】当，则成立，但不成立，
所以充分性不成立；
因为，所以，
又因为，所以，即，
所以必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
15．B
【分析】先化为，化再利用换底公式化简，解得，最后利用换底公式求结果.
【解答】∵18b=5，∴，又，联立解得．
∴．故选B．
【点拨】本题考查换底公式，考查基本化简求解能力.
16．A
【分析】根据函数的奇偶性，分类，和三种情况分类讨论，结合选项，即可求解.
【解答】由题意，函数的定义域为关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，图象关于原点对称，
当时，函数且，图象如选项B中的图象；
当时，若时，函数，可得，
函数在区间单调递增，此时选项C符合题意；
当时，若时，可得，则，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以选项D符合题意.
故选：A.
17．(1)；
(2)
【分析】（1），可得，由得，对B分类讨论即可求；
（2）由全集为A，，即得，代入可得m，，即，代入可得a
【解答】（1），，由得，
当，则；
当，则；
当，则.
综上可得实数a组成的集合为；
（2）由全集为A，，即得，
∴，∴，∴.
综上，
18．(1)
(2)
【分析】（1）解方程即可求解.
（2）将问题转化为在上有实数解,求函数在上的值域即可.
【解答】（1）由题得即
故方程的解为.
（2）由,得
易知在上是严格增函数,
且当时,当时,
故
19．(1)
(2)函数在上的增函数，证明见解析
【分析】（1）利用，可求出a的值；
（2）先判断出函数为增函数，再根据增函数的定义可证明结论.
【解答】（1）因为是上的奇函数，所以，解得.
所以，
则，
故满足函数是奇函数.
所以.
（2）由（1）知，，所以函数在上的增函数，
证明：任取，
则，
因为，，，，
所以，所以，
所以函数在上的增函数.
20．(1)天
(2)安排人完成钢笔的装盒工作，人完成保温杯的装盒工作，可以使得工期最短．
【分析】（1）计算出人完成钢笔的装盒工作或完成保温怀的装盒工作的天数，比较大小后可得出结论；
（2）完成纪念品装盒工作的工期的函数解析式，利用函数的单调性求出的最小值，即可得出结论.
【解答】（1）解：若安排人完成钢笔的装盒工作，则完成钢笔的装盒工作需要天，
完成保温怀的装盒工作需要天天．
则完成纪念品装盒工作的工期为天．
（2）解：设安排人完成钢笔的装盒工作，则完成钢笔的装盒工作需要天，
完成保温怀的装盒工作需要天，其中．
因为函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，
所以完成纪念品装盒工作的工期为，
由，即，得．
从而，
因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
计算可得，，且，
所以安排人完成钢笔的装盒工作，人完成保温杯的装盒工作，可以使得工期最短．
21．(1)证明见解析
(2)为C函数，证明见解析
【分析】（1）利用对数式的运算，证明即可；
（2）由单调性可得，整理变形后有，可得.
【解答】（1）证明：
，，
则有
，
，
所以函数是C函数.
（2）一定为C函数,证明如下：
函数是上的严格减函数，任取，有，
则，即，
变形为，
两式相加得，
由，则，所以为C函数.
【点拨】方法点拨：
函数新定义问题，要紧紧围绕所给定义，由定义中的规则和运算性质对各种结论进行判断.