04函数的应用-广东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019新版）

这是一份04函数的应用-广东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019新版），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022上·广东佛山·高三统考期末）某科技研发公司2022年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是（ ）（参考数据：，，，）
A．2027年B．2028年C．2029年D．2030年
2．（2022上·广东珠海·高三统考期末）已知恰有三个不同的零点，则实数a的范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022上·广东清远·高三统考期末）果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果的新鲜度F与其采摘后时间t（天）近似满足的函数关系式为，若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．若要这种水果的新鲜度不能低于60%，则采摘下来的这种水果最多可以保存的天数为（ ）
A．30B．35C．40D．45
4．（2020上·广东深圳·高三统考期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.函数，若存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2018上·广东汕头·高三金山中学校考期末）已知函数，方程有5个不同的实根，则取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2019上·广东·高三统考期末）已知函数，，则函数的所有零点之和等于
A．B．C．D．
7．（2019上·广东·高三广东实验中学校联考期末）若函数有3个零点，则实数的取值范围是．
A．B．C．D．
8．（2019上·广东珠海·高三统考期末）有，且时，，则方程的根有
A．个B．个C．个D．个
9．（2024上·广东珠海·高三珠海市第一中学校考期末）南非在2021年11月9日检测出首例新冠病毒变异毒株“奥密克戎”，短短一周时间，从11月10日新增感染300人到11月16日新增感染1万人，若新增感染人数y与时间（第x天）可以表示为函数（为正实数），则第四天新增感染人数约为（ ）（参考数据：）
A．5485B．4018C．2143D．1765
二、填空题
10．（2022上·广东珠海·高三统考期末）在数列中，给定，且函数的导函数有唯一的零点，则 ；设函数且，则 ．
11．（2012上·广东肇庆·高三统考期末）若函数满足且时，；函数 ，则函数与的图象在区间内的交点个数共有 个.
12．（2023上·广东东莞·高三校考期末）已知函数,若关于x的方程有8个不同的实数解，则整数m的值为 .（其中e是自然对数的底数）
13．（2023上·广东潮州·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为 .
14．（2023上·广东清远·高三统考期末）设函数若关于的方程有四个实根，，，且，则 ，的最小值为 .
三、解答题
15．（2023上·广东河源·高三统考期末）疫情期间某大型快餐店严格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防护的同时，为了实现收益，也为了满足人们餐饮需求，增加打包和外卖配送服务，不仅如此，还提供了一款新套餐，丰富产品种类，该款新套餐每份成本20元，售价30元，保质期为两天，如果两天内无法售出，则过期作废，且两天内的销售情况互不影响，现统计并整理连续30天的日销量（单位：百份），得到统计数据如下表：
(1)记两天中销售该款新套餐的总份数为（单位：百份），求的分布列和数学期望；
(2)以该款新套餐两天内获得利润较大为决策依据，在每两天备餐27百份､28百份两种方案中应选择哪种？
16．（2023上·广东揭阳·高三统考期末）已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)当有两个零点时，分别设为，，试判断与2的大小关系，并证明.
17．（2019上·广东中山·高三中山纪念中学校考期末）对于函数，若存在实数，使成立，则称为的不动点.
（1）当，时，求的不动点；
（2）若对于任何实数，函数恒有两相异的不动点，求实数的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若的图象上、两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的最小值.
18．（2017上·广东汕头·高三统考期末）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50元，每个蛋糕的售价为100元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理.现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.
（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕17个，设当天的需求量为，则当天的利润（单位：元）是多少？
（2）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕.
①求当天的利润（单位：元）关于当天需求量的函数解析式；
②求当天的利润不低于600圆的概率.
（3）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作16个还是17个生日蛋糕？
日销量（单位：百份）
12
13
14
15
天数
3
9
12
6
参考答案：
1．D
【分析】设年后公司全年投入的研发资金为，根据题意列出与的关系，即可列不等式解出的最小值，即可得出答案.
【详解】设年后公司全年投入的研发资金为，
则根据题意有，
研发资金开始超过600万元，即，解得，
则的最小值为8，
则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是年，
故选：D.
2．D
【分析】由已知方程有三个不同的根，即方程或有三个不同根，利用导数分析函数与的性质，由此确定实数a的范围.
【详解】由，
得，即．
令，则，令可得，
当时，，当时，，
∴ 在单调递增，在单调递减，
所以，即仅有唯一的解．
依题意，方程有两个不同的解，即与有两个不同的交点，令，则，易得在单调递增，在单调速减，，画出的草图
观察图象可得，
故选：D．
3．A
【分析】由已知可得求出参数m、a，再由求t的范围，即可知答案.
【详解】由题设，，解得：，
所以，故．
故选：A.
4．A
【解析】将有3个零点问题转化为与有3个交点问题,画出的图像,进而由图像得到的范围
【详解】由题,因为是定义域为的奇函数,则图像关于原点对称,
若存在3个零点,则与有三个交点,
的图像如图所示,
当时,在单调递增,在上单调递减,所以当时,,
所以,由图,当时与有三个交点,
故选:A
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查由函数的零点个数求参数范围,考查数形结合思想
5．D
【分析】作函数的图象，从而利用数形结合知的根的分布情况，列不等式，从而解得．
【详解】解：作函数的图象如下，
∵关于的方程有5个不同实数解，
令，
∴有2个不同的正实数解，
其中一个在上，一个在上，或其中一个在上，一个为1，或其中一个为1，一个为0，
当其中一个为1，一个为0时，
，此时；
当其中一个在上，一个为1时，
，解得；
当其中一个在上，一个在上时，
，
其对应的平面区域如下图所示：
的几何意义为区域内的点和原点连线的斜率，由图可知斜率的取值范围为，
综上所述：取值范围是
故选：D．
【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用，同时考查了线性规划，难度较难．
6．D
【分析】先将函数用倍角公式化简，再由求出所有零点，即可得出结果.
【详解】
，由得到或者.当时，，，；
当时，，，，；所以的所有零点之和等于，选D.
另解：可以将零点问题转化为函数图像的交点问题，令，则，在同一坐标系中画出函数和的图像，如图所示，两个函数图像在区间有7个交点，所以有7个零点，其中3个零点是，，，另外四个零点为图中的，，，，由对称性可知，，，所以的所有零点之和等于，选D.

【点睛】本题主要考查三角函数的零点问题，结合三角函数的图像和性质，易求出结果.
7．B
【分析】结合题意，将零点问题转化为函数交点问题，计算a的范围，即可．
【详解】
时，由得（画图确定只有两个解），故有3个零点等价于有1个零点，画出的图像，数形结合可得实数的取值范围是，故选B.
【点睛】本道题考查了函数的性质，考查了数形结合思想，难度中等．
8．C
【分析】依次绘制出的函数图像，结合图像，判断交点个数，即可．
【详解】结合题意，当，，令，则
，得到，而在的斜率为，是小于8的，故在此区间与只有一个交点，同理可得
，，，当，绘制图像：
发现有4个交点，故的根有4个．
【点睛】本道题考查了函数图像的绘制，考查了数形结合思想，考查了方程零点个数问题，难度偏难．
9．D
【分析】代入数据计算，得到，计算得到答案.
【详解】，则，，解得，
第四天新增感染人数约为.
故选：D
10． 2
【分析】空1：求导利用函数零点定义即可求得
空2：利用引入辅助角公式对化简，构造新函数，利用导数判断新函数的单调性并结合夹逼原理求得
【详解】空1：因为有唯一的零点，为偶函数，
则，可得，，数列为等差数列．所以，
又因为，
令，则为奇函数，因为，所以在上单增．
由题意得，
∵数列是公差不为0的等差数列，其中，
则，假设，
∵
∴，
假设，同理可得，
综上，．
故答案为：、
11．8
【分析】解： 函数以2为周期， 是偶函数，画出图像可知有8个交点.
12．5
【分析】判断函数的奇偶性，利用导数判断其单调性，继而作出其图象，数形结合，将关于x的方程有8个不同的实数解，转化为关于t的方程有2个不同的实数解，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】因为,所以当时，，
当时，，即满足，则是偶函数.
当时，则，，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；当时，,
作出函数的图象，如图所示：
设，因为有8个不同的实数解，
所以由图象可得，关于t的方程有2个不同的实数解，且都大于e，
所以有，解得，
又因为，所以整数m的值为5，
故答案为：5.
【点睛】方法点睛：解决此类比较复杂的方程的根的个数问题，一般方法是采用换元法，数形结合，将根的个数问题转化为函数图象的交点问题；本题即根据函数解析式判断奇偶性，利用导数判断单调性，从而作出其图象，数形结合，将方程根的问题转化为图象交点问题，换元继而转化为关于t的方程有2个不同的实数解的问题.
13．18
【分析】判断出的对称性、周期性，画出与的图象，结合图象求得的所有零点之和.
【详解】∵满足，则关于直线对称，
又∵是定义在上的奇函数，则，
即，则，
∴是以4为周期的周期函数，
对，可得，则，
∴关于点对称，
令，则，
可知：与均关于点对称，如图所示：
设与的交点横坐标依次为，
则，
故函数的所有零点之和为.
故答案为：18.
14．
【分析】画出的图象，结合图象求得，，，的关系式，根据基本不等式求得正确答案.
【详解】画出的图象如下图所示.
由图可知，其中.
因为，即，
整理得.
且，
所以，
当且仅当时等号成立，此时，
又因为
，
当且仅当时等号成立，此时.
所以的最小值为.
故答案为：；
【点睛】解决含有绝对值的对数函数的问题，可结合函数图象来进行研究.求解最值问题，可考虑利用基本不等式或二次函数的性质来进行求解.二次函数的图象具有对称性.
15．(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)选择每天生产配送27百份
【分析】（1）列出可能取值，分别计算出相应的概率，列出分布列表，即可求解.
（2）根据利润的计算方式，分别计算出当每两天生产配送27百份时的利润和当每两天生产配送28百份时利润，比较后可得答案.
【详解】（1）根据题意可得：的所有可能取值为，
，
，
的分布列为：
（2）当每两天生产配送27百份时，利润为：
（百元）
当每两天生产配送28百份时，利润为：
（百元）
，选择每天生产配送27百份.
16．(1)答案见解析；
(2)，证明见解析.
【分析】（1）利用导数可求出的最小值为，后讨论最小值与0的大小结合零点存在性定理可解决问题；
（2）由（1）可得，在区间上单调递增，则与2的大小关系，等价于与的大小关系，即与的大小关系，又注意到，故利用导数研究函数的单调性即可.
【详解】（1）
，
因为，所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以.
所以当，即时，的零点个数为0；
当，即时，的零点个数为1；
当，即时，注意到，
，
因，则，令，则.
令，则，
因，得，即在上单调递增.
则，则.
故，使得，得时，的零点个数为2.
综上：时，的零点个数为0；
时，的零点个数为1；
得时，的零点个数为2.
（2）.证明如下：
由（1）可知，当时，函数有两个零点，且.
令，，
则，
当时，，所以在区间上单调递增，
所以，
所以.因为，所以.
又由（1）知在区间上单调递增，则，
故.
【点睛】关键点点睛：本题涉及讨论函数零点与双变量问题，难度较大.
（1）讨论零点常利用导数结合零点存在性定理或数形结合，本题采用第一种方法，难点在于取点；
（2）该问为极值点偏移问题，常利用构造差函数或利用消元将双变量变为单变量.
17．（1）不动点是－1，2.（2）（3）
【分析】（1）根据不动点定义,代入,,即可得一元二次方程,解方程即可求解.
（2）令,可得一元二次方程.根据有两个相异的实数根,可知对应判别式.即可得关于的不等式.再由对于任意实数恒成立,可知对应判别式即可求得的取值范围;
（3）根据题意可设,,即可求得直线的斜率.根据直线是线段的垂直平分线,可求得的值.设的中点为,由韦达定理可得,代入直线即可用表示出.结合基本不等式即可求得的取值范围,即可得的最小值.
【详解】∵
（1）当,时,
设为其不动点,即.
则.
∴,.
即的不动点是－1,2.
（2）由得.由已知,此方程有相异二实根,
恒成立,即.
即对任意恒成立.
∴,
∴,
∴.
（3）因为的图象上、两点的横坐标是函数的不动点,设,,
则
直线是线段的垂直平分线,
∴
记的中点.由（2）知,
∵在上,
∴.
化简得
（当且仅当时,等号成立）.
即.
因为,所以
综上可知
所以
【点睛】本题考查了新定义在函数中的应用,方程的根与不等式关系,垂直直线的斜率关系,基本不等式求最值的应用,综合性较强,属于中档题.
18．（1）时，利润为；时，利润为；（2）①，②；（3）17．
【详解】试题分析：（1）分、分别求得相应利润；（2）①结合（1）即可求得函数解析式；②将问题转化为“需求量不低于个”的概率，由此利用条件概率公式求解即可；（3）分别求得一天制作16个和17个的平均利润，由此作比较可得结论．
试题解析：（1）当时，，
当时，．
（2）①由（1）得当天的利润关于当天需求量的函数解析式为：
②设“当天利润不低于”为事件，由①知，“当天利润不低于”等价于“需求量不低于个”
，所以当天的利润不低于元的概率为：．
（3）若一天制作个蛋糕，则平均利润为：；
若一天制作个蛋糕，则平均利润为：；
，蛋糕店一天应该制作个生日蛋糕.
考点：1、频率分布直方图；2、分段函数；3、条件概率．
24
25
26
27
28
29
30