06三角函数与解三角形-广东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019

这是一份06三角函数与解三角形-广东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022上·广东佛山·高三统考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2022上·广东汕头·高三金山中学校考期末）已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022上·广东东莞·高三统考期末）若，，则（ ）
A．B．1C．D．
4．（2022上·广东揭阳·高三统考期末）已知函数，则该函数的增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022上·广东潮州·高三统考期末）已知则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022上·广东深圳·高三统考期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022上·广东东莞·高三统考期末）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
8．（2022上·广东汕尾·高三统考期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征，函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022上·广东佛山·高三统考期末）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．（2022上·广东潮州·高三统考期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为 .
11．（2022上·广东汕头·高三统考期末）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片直径，需要剪去四边形，可以经过对折，沿裁剪，展开就可以得到．
已知点在圆上且，．则镂空四边形的面积的最小值为 ．
12．（2022上·广东东莞·高三统考期末）设的导函数为，若关于对称，则 ．
13．（2022上·广东珠海·高三统考期末）在数列中，给定，且函数的导函数有唯一的零点，则 ；设函数且，则 ．
14．（2022上·广东揭阳·高三统考期末）如图所示，在等腰直角中，为的中点，，分别为线段上的动点，且.
（1）当时，则的值为 .
（2）的最大值为 .
15．（2022上·广东清远·高三统考期末）已知，则 ．
16．（2022上·广东佛山·高三统考期末）菱形中，，点E，F分别是线段上的动点（包括端点），，则 ，的最小值为 .
三、解答题
17．（2022上·广东珠海·高三统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．
18．（2022上·广东佛山·高三统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且.
(1)求A的大小；
(2)若，求的面积.
19．（2022上·广东汕头·高三统考期末）如图，在三棱柱中，平面平面，且，，．
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)求三棱柱的高h．
20．（2022上·广东汕头·高三统考期末）设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．
(1)求证：B＝2A；
(2)求的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】根据两个条件之间的推出关系可得正确的选项.
【详解】若，
则，
但当时，有，
此时不一定成立，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
2．B
【分析】根据三角函数的定义求得，结合正弦的倍角公式，即可求解.
【详解】由题意，角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，可得，
根据三角函数的定义，可得，
所以.
故选：B.
3．B
【分析】根据，和，即可得到，进而求出结果.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，即，所以，
故选：B.
4．C
【分析】利用整体代换法和复合函数的单调性求函数的增区间.
【详解】令，
解得，
所以函数的增区间是.
故选：C.
5．A
【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简计算.
【详解】解：.
故选：A
6．D
【分析】利用三角函数诱导公式将所求式子转化后即可得出结论.
【详解】，.
故选：D.
7．C
【分析】先以偶函数定义去判断选项A的正误，再以奇函数的定义去判断选项B、C、D的正误.
【详解】选项A:
，
是奇函数，判断错误；
选项B:
,
是偶函数，判断错误；
选项C:
，
是奇函数，判断正确；
选项D:
，
是偶函数，判断错误.
故选：C
8．A
【分析】排除法可以解决，首先是奇函数，排除BD，取，可排除C，即可得答案.
【详解】
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；
又，排除C，
故选：A．
9．A
【分析】利用诱导公式求出，再用平方关系求出即可计算作答.
【详解】因，则，而，于是得，
所以.
故选：A
10．
【分析】将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所示，设，利用余弦定理求出，将三棱锥补成长方体如图2所示，该棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出外接球的半径，即可求出其体积.
【详解】解：将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所示，
设，即，由题意得，
在中，由余弦定理得
即
即，解得或（舍去），
将三棱锥补成长方体如图2所示，
该棱锥的外接球即为长方体的外接球，
则外接球的半径，
所以外接球的体积.
故答案为：
11．
【分析】由对称性可得，所以求面积的最小值即可，设，根据可得，根据的面积公式可得的关系，再根据基本不等式即可求面积的最小值.
【详解】由对称性可得，所以求面积的最小值即可，
如图所示，设为圆心，连接，作于，
由题意，所以，所以，
设，由面积公式得 ，
由余弦定理可得，
又根据基本不等式可得，即，
当且仅当时取等号，
所以，
所以四边形的面积的最小值为，
故答案为：
12．/0.5
【分析】首先求函数的导数，并求函数，利用辅助角公式化简，并代入对称中心，并利用诱导公式计算.
【详解】，所以，其中，，，
因为函数关于对称，所以，，
所以.
故答案为：
13． 2
【分析】空1：求导利用函数零点定义即可求得
空2：利用引入辅助角公式对化简，构造新函数，利用导数判断新函数的单调性并结合夹逼原理求得
【详解】空1：因为有唯一的零点，为偶函数，
则，可得，，数列为等差数列．所以，
又因为，
令，则为奇函数，因为，所以在上单增．
由题意得，
∵数列是公差不为0的等差数列，其中，
则，假设，
∵
∴，
假设，同理可得，
综上，．
故答案为：、
14．
【分析】第一个空：过点作于点，在Rt中，可求出，从而在中，根据余弦定理即可求出答案；第二空需要选择恰当的角度表示出的值，再利用三角恒等变换以及三角函数的性质求解出最值.
【详解】当时，，过点作于点，
在Rt中，，，，
在中，由余弦定理，得.
（2）设，则，
过点分别作的垂线于两点，则，
在与中，，，
所以，
所以当时，.
故答案为：；.
15．
【分析】首先利用两角和差公式及二倍角公式化简原式得到，再利用同角三角函数商数关系求解即可.
【详解】
．
故答案为：
16． 0 /-0.25
【分析】建立坐标系，用坐标表示向量，第一个空利用向量数量积坐标公式进行相应计算，第二个空设出，表达出，利用二次函数的性质求最小值，再结合求出最小值.
【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，故，，，，设，则，，则，，，；
因为，所以，，故当时，取得最小值为，因为，所以当，即时，最小，最小值为
故答案为：0，
【点睛】建立坐标系，解决平面向量相关的取值范围或共线等问题是非常好用的.
17．(1)．
(2)．
【分析】（1）根据正弦定理边角化结合三角恒等变换即可求解，
（2）根据余弦定理求解，即可由正弦定理求解，进而由锐角三角函数即可求解.
【详解】（1）∵，根据正弦定理得，，
即，
所以，因为，
所以，所以，
因为，所以．
（2）因为，，，根据余弦定理得
，∴．
∵，∴．
在中，由正弦定理知，，∴，
∴，，所以
∴，∴．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式将化简可得即可求得A的大小；（2）分别在和中利用余弦定理联立方程组可解得即可求得的面积.
【详解】（1）由得，
即，解得或（舍去）
因为，所以，则.
所以A的大小.
（2）设，则，
在中，由余弦定理可知，
在中，由余弦定理可知；即
联立解得；
所以
故的面积为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，从而证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，求出夹角的余弦值；
（2）在第一问的基础上，利用点到平面的向量求距离公式进行求解.
【详解】（1）取的中点，连接，在上取点E，使得，连接，
因为，所以为等边三角形，
故⊥，
因为平面平面，交线为，平面，
故⊥平面，
因为，，，
所以，
则为等边三角形，，
因为，所以，
在中，由余弦定理得：，
故，
则，
故，则，
因为平面平面，交线为，平面，
所以DE⊥平面，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
故，
平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，
则平面与平面夹角的余弦值；
（2）点到平面的距离即为三棱柱的高h，
由（1）知：平面的法向量为，，
故.
20．(1)证明过程见解析.
(2)
【分析】（1）利用正弦定理及积化和差得到，结合角的范围，得到；
（2）利用正弦定理得到，根据三角形为锐角三角形，得到，，从而求出取值范围.
【详解】（1），
由正弦定理得：，
由积化和差公式可得：，
因为，
所以，
因为三角形ABC为锐角三角形，故，
所以，
故，即；
（2）由（1）知：，
由正弦定理得：
，
其中，
因为，
所以
，
由得：，
由，解得：，
结合可得：，，
故在上单调递增，
所以，
即.