08数列-广东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019新版）

这是一份08数列-广东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019新版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·广东珠海·高三珠海市第一中学校考期末）若数列满足（且），则与的比值为（ ）
A．B．C．2D．3
2．（2023上·广东河源·高三统考期末）在数列中，，且，则的值为（ ）
A．18B．19C．20D．21
3．（2022上·广东珠海·高三统考期末）数列满足，a且，，则该数列的前40项之和为（ ）
A．B．80C．60D．230
4．（2022上·广东汕头·高三金山中学校考期末）已知数列，，其中为最接近的整数，若的前m项和为10，则（ ）
A．15B．20C．30D．40
5．（2022上·广东潮州·高三统考期末）等差数列的前n项和，若的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2022上·广东清远·高三统考期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2021这2021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为（ ）
A．58B．59C．60D．61
7．（2021上·广东汕头·高三统考期末）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2019上·广东清远·高三统考期末）世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（ ）
A．磅B．磅C．磅D．磅
9．（2019上·广东·高三广东实验中学校联考期末）在等比数列中，是关于的方程的两个实根，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．（2022上·广东珠海·高三统考期末）在数列中，给定，且函数的导函数有唯一的零点，则 ；设函数且，则 ．
11．（2022上·广东东莞·高三统考期末）龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图1）是以为斜边画出等腰直角三角形的直角边、所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）.、、为第一代龙曲线的顶点，设第代龙曲线的顶点数为，由图可知，，，则 ；数列的前项和 .
12．（2022上·广东揭阳·高三统考期末）在等差数列中，分别是方程的两个根，则 .
13．（2022上·广东潮州·高三统考期末）设是首项为2的等比数列，是其前n项和．若，则 ．
14．（2022上·广东汕尾·高三统考期末）已知等差数列的前n项和是，且，则 ．
15．（2021上·广东汕头·高三统考期末）设数列满足且，则 ，数列的通项 ．
三、解答题
16．（2022上·广东珠海·高三校考期末）记为数列的前项和，．
(1)求的通项公式；
(2)求的值．
17．（2021上·广东深圳·高三红岭中学校考期末）数列是等差数列，是公比为的等比数列，是的前项和，已知，.
(1)求的值；
(2)证明：将按适当顺序排列后，可以成等差数列.
18．（2023上·广东河源·高三统考期末）已知函数，其中为自然对数的底数，.
(1)当时，函数有极小值，求；
(2)证明：恒成立；
(3)证明：.
19．（2023上·广东河源·高三统考期末）已知等差数列的前项和为，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前20项和.
参考答案：
1．D
【分析】由递推关系，求证数列为等比数列，公比为即可得.
【详解】，由，则，
在等式式两边同取倒数得，，
在两边同加得，，
又，则，
则有，则数列是公比为的等比数列.
则与的比值为.
故选：D.
2．C
【分析】先进行因式分解，表示出于间的递推式，最后代入数据即可.
【详解】解：，且，
，
又
.故选:C.
3．C
【分析】由知，分奇数项和偶数项两种情况考虑，接下来可以相邻奇偶项并项求和，也可以奇数项和偶数项分组求和.
【详解】法一：由，得，，
所以，所以数列的前40项和为．
法二：也可以分奇数项和偶数项分别求和，奇数项成公差为的等差数列，偶数项成公差为1的等差数列，所以前40项中奇数项有20项，
其和为，偶数项有20项，其和为，故前40项和为.
故选： C．
4．C
【分析】由题意，为最接近的整数，得到中有2个1，4个2，6个3，8个4，，进而得到 ，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由题意知，函数为最接近的整数，且，，，，
由此，在最接近的整数中，有2个1，4个2，6个3，8个4，，
又满足，得：，
则 ，
因为的前项和为10，即，
所以是首项为，公差为的等差数列的前5项和，则.
故选：C.
5．B
【分析】根据，即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以.
故选：B.
6．A
【分析】根据题意先得到数列的首项及公差，再建立不等式即可求解.
【详解】因为由1到2021这2021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为23，公差为35的等差数列，所以该数列的通项公式为．因为，所以．即该数列的项数为58．
故选：A
7．D
【分析】求出等差数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式与求和公式可判断各选项的正误.
【详解】设等差数列的公差为，由题知，解得，
所以，，，
则，.
故选：D.
8．D
【分析】设出等差数列的首项和公差，利用已知条件列方程组并转化为的形式，由此求得最小分的磅数.
【详解】由于数列为等差数列，设最小一份为，且公差为，依题意可知，即，解得.故选D.
【点睛】本小题主要考查数学史，考查等差数列的通项公式的计算以及等差数列前项和公式的应用，属于基础题. 基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.
9．B
【分析】结合根与系数关系，根据等比中项满足的性质，计算，代入，计算式子，即可．
【详解】是关于x的方程的两实根，所以，由得，所以，即，所以.故选B
【点睛】本道题考查了等比中项的性质，关键利用好该性质，计算结果，即可，难度中等．
10． 2
【分析】空1：求导利用函数零点定义即可求得
空2：利用引入辅助角公式对化简，构造新函数，利用导数判断新函数的单调性并结合夹逼原理求得
【详解】空1：因为有唯一的零点，为偶函数，
则，可得，，数列为等差数列．所以，
又因为，
令，则为奇函数，因为，所以在上单增．
由题意得，
∵数列是公差不为0的等差数列，其中，
则，假设，
∵
∴，
假设，同理可得，
综上，．
故答案为：、
11．
【分析】推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得的通项公式，可求得的值，再利用裂项相消法可求得.
【详解】解：由题意可知，第代龙曲线是在将个第代龙曲线的首尾顶点相接，
则，所以，，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，则，
，则，
，
因此，.
故答案为：；.
12．8
【分析】利用等差数列的性质以及韦达定理得，利用等差数列的性质可得答案.
【详解】根据韦达定理可得，由等差数列的性质可得，
从而可得.
故答案为：8
13．62
【分析】先根据题中的等式计算等比数列的公比，再运用等比数列前n项和公式求解.
【详解】设数列的公比为，则根据题意得，
又 ，所以计算得.
由等比数列前n项和得，数列的前五项和为，
故答案为：62.
14．136
【分析】根据等差数列求和公式及性质，代入数据，即可得答案.
【详解】由题意得．
故答案为：136
15．
【分析】设，根据题意得到数列是等差数列，求得，得到，利用，结合“叠加法”，即可求得.
【详解】由题意，数列满足，
设，则，且，所以数列是等差数列，
所以，即，
所以，
当时，
可得，
其中也满足，
所以数列的通项公式为.
故答案为：；.
16．(1)，；
(2)
【分析】（1）令，可得，再将换为，两式相减可得；
（2）由等差数列的求和公式可得，求得，再由数列的裂项相消求和计算可得所求和．
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，又，
两式相减可得，解得，
上式对也成立，
所以，；
（2），，
所以．
17．(1)或，
(2)证明见解析.
【分析】（1）设数列的公差为，由等差数列和等比数列通项公式化简条件，解方程求；
（2）求，由此可得，结合等差数列定义证明结论.
【详解】（1）设数列的公差为，
因为，，
所以，，又，
所以，解得或，
（2）当时，则，，，
所以，
所以成等差数列，
当时，，，
，
所以，
所以成等差数列.
所以将按适当顺序排列后，可以成等差数列.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，求极值点，讨论函数单调性，找到极小值即可解决问题；
（2）不等式恒成立，即恒成立，
设，构造新函数求导利用函数导数单调性进行分析即可证明结论.
（2）由（2）知，，令，则
从而有，由的不同值，分别写出不等式，然后累加，结合等比数列求和进行放缩，分析得到结论.
【详解】（1），令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以有极小值，
所以，即.
（2）证明：不等式恒成立，即恒成立，
设，则，
易知是定义域上的增函数，又，
则在上有一个根，即
当时，，当时，
此时在单调递减，在单调递增，
的最小值为，
，
，
，
恒成立，故结论成立.
（3）证明：由（2）知，，令，
则.
由此可知，当时，，
当时，，
当时，，
，
当时，，
累加得：
，
又，
所以.
【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，
难度相当大，主要考向有以下几点：
1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；
2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；
3、求函数的极值（最值）；
4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；
5、证明不等式；
解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，
在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，
对新函数求导再结合导数与单调性等解决.
19．(1)，
(2)
【分析】（1）根据已知得出，即可得出的通项公式，再根据利用指对互化得出的通项公式；
（2）将数列的前20项和分为10个奇数项与10个偶数项，奇数项利用裂项相消法得出，偶数项利用错位相减法得出，即可得出答案.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
等差数列的前项和为，，
，解得，，
，
，
，
.
（2），
，
，
，
令，
则，
得：，
，
，
.