11平面解析几何（直线与方程、圆与方程）-广东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人

这是一份11平面解析几何（直线与方程、圆与方程）-广东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022上·广东东莞·高三统考期末）已知为坐标原点，点为函数图象上一动点，当点的横坐标分别为时，对应的点分别为，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2019上·广东揭阳·高三统考期末）若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，则直线的斜率为
A．B．C．D．
3．（2022上·广东惠州·高三校考期末）设，则 “”是“直线与直线平行”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2022上·广东东莞·高三统考期末）已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为6，下底半径为1，高为，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入的铁球的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022上·广东深圳·高三统考期末）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022上·广东清远·高三统考期末）直线被圆截得的最短弦长为（ ）
A．B．C．D．
7．（2020上·广东深圳·高三深圳中学校联考期末）已知圆，点，内接于圆，且，当，在圆上运动时，中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2019上·广东清远·高三统考期末）已知命题：恒成立，命题 与圆：有公共点，则是的
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2019上·广东东莞·高三统考期末）已知圆：与轴负半轴交于点，圆与直线：交于两点，那么在圆内随机取一点，则该点落在内的概率为
A．B．C．D．
10．（2019上·广东东莞·高三校联考期末）过点且倾斜角为的直线交圆于，两点，则弦的长为
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2022上·广东广州·高三广州六中校考期末）已知直线：交：于，两点，为外一动点，且，当最小时，面积的最大值为 .
12．（2022上·广东珠海·高三统考期末）若函数在处的切线与直线垂直，则 ．
13．（2022上·广东东莞·高三统考期末）已知为双曲线：的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为 .
14．（2022上·广东佛山·高三统考期末）抛物线上一点与焦点F的距离，则M到坐标原点的距离为 .
15．（2021上·广东深圳·高三红岭中学校考期末）在中，，，，动点在以点为圆心，半径为的圆上，则的最小值为 .
16．（2022上·广东东莞·高三统考期末）已知点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A、B，且，则动点P的轨迹的长度为 ．
17．（2020上·广东清远·高三校考期末）已知，以为直径的圆的方程为 .
三、解答题
18．（2020上·广东清远·高三校考期末）已知直线：的倾斜角为角.
（1）求；
（2）求，的值.
19．（2019上·广东中山·高三中山纪念中学校考期末）对于函数，若存在实数，使成立，则称为的不动点.
（1）当，时，求的不动点；
（2）若对于任何实数，函数恒有两相异的不动点，求实数的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若的图象上、两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的最小值.
20．（2023上·广东河源·高三统考期末）已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，周长为，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，焦点是该椭圆长轴上的顶点.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)是双曲线上不同的三点，且两点关于轴对称，的外接圆经过原点.求证：直线与圆相切.
21．（2022上·广东广州·高三广州六中校考期末）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆心为的圆过极点.
(1)求圆的极坐标方程；
(2)若直线与圆恰好相切，求的正切值.
参考答案：
1．D
【分析】设，则，令，利用导数可得函数为增函数，即得.
【详解】设，则，
令，则，
设，则
所以在上为增函数，
故，即，
∴在上为增函数，
∴，即.
故选：D.
2．C
【分析】将点的坐标代入抛物线方程，求得的值，由此求得抛物线焦点的坐标，根据两点求斜率的公式求得直线的斜率.
【详解】将坐标代入抛物线方程得，故焦点坐标，直线的斜率为，故选C.
【点睛】本小题主要考查待定系数法求抛物线的方程，考查抛物线的几何性质，考查已知两点坐标求直线斜率的公式.属于基础题.
3．A
【详解】若直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行，则a2=1，解得a=1或a=﹣1．经检验成立
所以“a=1”是“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”的充分不必要条件．
故选A．
4．B
【分析】作出体积最大时的剖面图，分析出此时圆与上底，两腰相切，建立合适直角坐标系，设圆心坐标为，利用圆心到腰所在直线等于半径列出方程，解出即可.
【详解】体积最大时，沿上下底面直径所在平面作出剖面图如图所示，显然此时圆与等腰梯形的上底以及两腰相切，则建立如图所示直角坐标系，
由题意得，，则，
则直线所在直线方程为，即
设，体积最大时球的半径为，
则，则点到直线的距离等于半径，
则有，
解得或，，
，此时，
则
故选：B.
5．B
【分析】根据给定条件确定轨迹C是圆，利用圆的性质求出其半径即可计算作答.
【详解】依题意，M的轨迹C是圆，设其圆心为点D，半径为r，显然直线l与圆C相离，令点D到直线l的距离为d，
由圆的性质得：，解得，，
所以C的长度为.
故选：B
6．D
【分析】先求圆C的圆心为，半径为4，再计算圆心到定点的距离，最后根据垂径定理可求解.
【详解】将圆化为一般方程为，因此可知圆C的圆心为，半径为4，
因为直线l过定点，所以当圆心到直线l的距离为时，
直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为．
故选：D
7．D
【解析】将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直角三角形得，从而得中点的轨迹方程.
【详解】
设中点为，
圆心角等于圆周角的一半，，
，
在直角三角形中，由，
故中点的轨迹方程是：，
如图，由的极限位置可得，.
故选：D
【点睛】本题考查了动点的轨迹方程问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.
8．A
【分析】命题：恒成立等价，命题成立等价，分别解得的范围，利用充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】命题：恒成立，
等价；
命题成立：等价，解得，
由，不能推出，
是的必要不充分条件，故选A.
【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
9．A
【分析】利用弦长公式求得，利用点到直线的距离求得到直线的距离，由此求得三角形的面积，根据几何概型概率计算公式求得所求的概率.
【详解】圆心到直线的距离为，圆的半径为，故，点到直线的距离为，故三角形的面积为.故所求的概率为，故选A.
【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆相交所得弦长的求法，考查点到直线的距离公式，考查三角形的面积公式，属于中档题.有关直线和圆相交所得弦长问题，往往是通过计算圆心到直线的距离，然后通过弦长公式来求解，其中是圆的半径，是圆心到直线的距离.
10．D
【分析】写出直线l的方程，求圆心到直线l的距离，再利用弦长公式进行求解即可．
【详解】过点且倾斜角为的直线为y-1=即,
∵圆，∴圆心（0，3），半径r=3，
圆心到直线l：的距离d==1，
∴直线被圆截得的弦长l=2=．
故选D．
【点睛】本题考查了直线被圆截得的弦长公式，主要用到了点到直线的距离公式．
11．
【分析】求出直线恒过定点，当最小时求出坐标，由求得的轨迹为圆，可求得面积的最大值.
【详解】由得.
则，得，
所以直线经过定点，
设为坐标原点，若最小，则，此时.
设，
由，可得.
化简得点的轨迹方程为，
则点的轨迹是圆心为，半径为4的圆，

易知圆心在直线上，因而点到的最大距离为4，
故面积的最大值为.
所以面积的最大值为12.
故答案为：12.
12．
【分析】求出导函数，为切线斜率，由直线垂直得斜率乘积为可得参数值．
【详解】，，由．
故答案为：．
13．
【分析】分别求出双曲线的焦点和渐近线，再代入点到直线的距离公式即可.
【详解】双曲线：的焦点为
双曲线：的渐近线为
由双曲线的对称性，不妨取焦点，渐近线为
则则点到渐近线的距离为
故答案为：4
14．
【分析】写出抛物线的准线，再利用抛物线的定义直接列式计算作答.
【详解】抛物线的准线为：，由抛物线定义得：，解得，
抛物线方程为，而在抛物线上，则，原点为O，即有，
所以M到坐标原点的距离为.
故答案为：
15．
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设，然后将数量积用点的坐标表示出来，再结合圆中的最值问题求解即可．
【详解】如图，以点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系．
因为，，，
所以
所以，
设，则，
∴
，
其中表示圆上的点与点间距离的平方，
由几何图形可得，
∴．
故答案为：．

16．
【分析】由圆切线的性质，将 转化为 ,由此求得点 横坐标的范围, 进而得动点 的 轨迹的长度.
【详解】
因为 , 所以 ,
所以，
解得 ,
设点 的坐标为 ,
所以 ,
解得 ,
所以动点 的轨迹的长度为.
故答案为：.
17．
【解析】先求出，两点间中点坐标即为圆心坐标，然后根据两点间的距离公式求出间的距离即为圆的直径，从而可得到圆的半径，确定圆的方程．
【详解】解：由题意可知，的中点为圆心，
故圆心为：即，
之间的距离等于直径，
圆的半径为，
所求圆的方程为：；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查两点间的距离公式和中点坐标．考查基础知识的综合运用，属于基础题．
18．（1）；（2）；
【解析】（1）首先求出直线的斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值计算可得；
（2）利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式计算可得；
【详解】解：（1）因为直线的斜率为，且直线的倾斜角为角，
所以
（2）由（1）知，
解得或，
因为，所以
【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，同角三角函数的基本关系以及二倍角余弦公式的应用，属于基础题.
19．（1）不动点是－1，2.（2）（3）
【分析】（1）根据不动点定义,代入,,即可得一元二次方程,解方程即可求解.
（2）令,可得一元二次方程.根据有两个相异的实数根,可知对应判别式.即可得关于的不等式.再由对于任意实数恒成立,可知对应判别式即可求得的取值范围;
（3）根据题意可设,,即可求得直线的斜率.根据直线是线段的垂直平分线,可求得的值.设的中点为,由韦达定理可得,代入直线即可用表示出.结合基本不等式即可求得的取值范围,即可得的最小值.
【详解】∵
（1）当,时,
设为其不动点,即.
则.
∴,.
即的不动点是－1,2.
（2）由得.由已知,此方程有相异二实根,
恒成立,即.
即对任意恒成立.
∴,
∴,
∴.
（3）因为的图象上、两点的横坐标是函数的不动点,设,,
则
直线是线段的垂直平分线,
∴
记的中点.由（2）知,
∵在上,
∴.
化简得
（当且仅当时,等号成立）.
即.
因为,所以
综上可知
所以
【点睛】本题考查了新定义在函数中的应用,方程的根与不等式关系,垂直直线的斜率关系,基本不等式求最值的应用,综合性较强,属于中档题.
20．(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可得，即可求得、、的值，进而得到椭圆的方程，再根据题意设，可得，可求得、的值，进而得到双曲线的标准方程；
（2）设直线的方程为，设，联立，根据韦达定理可得，再设的外接圆为，消去，可得，进而求证即可.
【详解】（1）根据题意得，又，解得，
，所以椭圆的方程为，将代入圆的方程，
椭圆的焦点坐标为，长轴上两个顶点坐标为，
依题意，设双曲线，
则，解得，
所以双曲线的方程是，即.
（2）证明：易知直线一定不为水平直线，设为，设，
联立，整理得，
则，
由于外接圆过原点且关于轴对称，设为，
将代入圆的方程得，
消去得，
又，，
，
化简得，
，，
由，
则原点到直线的距离，
即直线与圆相切.
21．(1)
(2)0或
【分析】（1）设在圆C上，然后根据题意得出极坐标方程；
（2）求出圆C的直角坐标的圆心，然后利用直线与圆相切即圆心到直线的距离等于半径求解.
【详解】（1）如图，OB为圆C的直径，设在圆C上，

则，，
化简可得圆C的极坐标方程为.
（2）由题意知，直线l经过定点，
由（1）知圆C的圆心的直角坐标为，半径，
当直线l的斜率不存在，即时，显然不符合题意，
所以直线l的斜率存在，设斜率，
则直线l的方程为，即，
从而圆心C到直线l的距离，
解得或，即或，
所以α的正切值为0或.