13计数原理与概率统计-广东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，201

这是一份13计数原理与概率统计-广东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，201，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022上·广东汕头·高三统考期末）已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（ ）
A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
B．甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数
C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差
2．（2022上·广东东莞·高三统考期末）甲，乙，丙，丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰接到1次球的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022上·广东惠州·高三校考期末）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A．23 条B．24 条C．25条D．26 条
4．（2022上·广东揭阳·高三统考期末）每年的毕业季都是高校毕业生求职和公司招聘最忙碌的时候，甲､乙两家公司今年分别提供了2个和3个不同的职位，一共收到了100份简历，具体数据如下：
分析毕业生的选择意愿与性别的关联关系时，已知对应的的观测值；分析毕业生的选择意愿与专业关联的的观测值，则下列说法正确的是（ ）
A．有的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联
B．毕业生在选择甲､乙公司时，选择意愿与专业的关联比与性别的关联性更大一些
C．理科专业的学生更倾向于选择乙公司
D．女性毕业生更倾向于选择甲公司
5．（2022上·广东潮州·高三统考期末）当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（ ）
A．30种B．36种C．42种D．64种
6．（2022上·广东深圳·高三统考期末）为了分析某次考试的情况，随机抽取了若干学生，将其考试成绩分组为：，，，，，，，，，并绘制成如下图所示的频率分布直方图，据此可估计该次考试成绩的中位数，则整数k的值为（ ）
A．99B．100C．101D．102
7．（2022上·广东深圳·高三统考期末）的各项系数和为（ ）
A．B．27C．16D．
8．（2022上·广东东莞·高三统考期末）的展开式中项的系数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
9．（2022上·广东汕尾·高三统考期末）已知的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则的展开式中的常数项为（ ）
A．-240B．240C．-60D．60
二、填空题
10．（2024上·广东珠海·高三珠海市第一中学校考期末）某学生的八次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示，则这八次成绩的中位数为 ．

11．（2022上·广东广州·高三广州六中校考期末）某社区年终活动设置抽奖环节，方案如下：准备足够多的写有“和谐”、“和睦”、“复兴”的卡片，参与者随机逐一抽取四张，若集齐三种卡片就获奖.王大爷按规定参与抽奖，则他直到第四次抽取出卡片才确定获奖的不同情况种数为 .
12．（2022上·广东珠海·高三统考期末）接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法．我国自年月日起实施全民免费接种新冠疫苗．截止到年月底，国家已推出了三种新冠疫苗（腺病毒载体疫苗、新冠病毒灭活疫苗、重组新冠病毒疫苗）供接种者选择，每位接种者任选其中一种．若人去接种新冠疫苗，恰有人接种同一种疫苗的概率为 ．
13．（2022上·广东潮州·高三统考期末）的展开式中常数项是 ．
14．（2022上·广东汕尾·高三统考期末）“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展，下表是近几年我国某地区新能源汽车的年销售量与年价的统计表
根据上表，利用最小二乘法，新能源汽车的年销售量y万台关于年份x的线性回归方程为 ．
参考数据：
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．
15．（2022上·广东清远·高三统考期末）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有 种．
16．（2022上·广东广州·高三广州市第四十一中学校考期末）“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有A、B两位同学参赛，比赛时每位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则A、B两位同学抽到同一本书的概率为 ．
三、解答题
17．（2022上·广东广州·高三广州六中校考期末）某地区共有200个村庄，根据扶贫政策的标准，划分为贫困村与非贫困村.为了分析2018年度该地区的（国内生产总值）（单位：万元）情况，利用分层抽样的方法，从中抽取一个容量为20的样本，并绘成如图所示的茎叶图.
(1)（i）分别求样本中非贫困村与贫困村的的平均值；
（ii）利用样本平均值来估算该地区2018年度的的总值.
(2)若从样本中的贫困村中随机抽取4个村进行调研，设表示被调研的村中低于（i）中贫困村平均值的村的个数，求的分布列及数学期望.
18．（2023上·广东河源·高三统考期末）疫情期间某大型快餐店严格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防护的同时，为了实现收益，也为了满足人们餐饮需求，增加打包和外卖配送服务，不仅如此，还提供了一款新套餐，丰富产品种类，该款新套餐每份成本20元，售价30元，保质期为两天，如果两天内无法售出，则过期作废，且两天内的销售情况互不影响，现统计并整理连续30天的日销量（单位：百份），得到统计数据如下表：
(1)记两天中销售该款新套餐的总份数为（单位：百份），求的分布列和数学期望；
(2)以该款新套餐两天内获得利润较大为决策依据，在每两天备餐27百份､28百份两种方案中应选择哪种？
19．（2022上·广东汕头·高三统考期末）某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．
(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；
(3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由．
公司
文史男
文史女
理工男
理工女
甲
10
10
20
10
乙
15
20
10
5
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年销售量（万台）
8
12
15
20
25
日销量（单位：百份）
12
13
14
15
天数
3
9
12
6
场上位置
边锋
前卫
中场
出场率
0.5
0.3
0.2
球队胜率
0.6
0.8
0.7
参考答案：
1．B
【分析】分析图中数据，结合方差，极差的求法和意义，结合百分位数的求解，得到答案.
【详解】从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确；
将甲成绩进行排序，又，故从小到大，选择第二个成绩作为甲成绩的第25百分位数，估计值为90分，
将乙成绩进行排序，又，故从小到大，选择第5个成绩成绩作为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90分，
从而甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，B错误；
甲成绩均集中在90分左右，而乙成绩大多数集中在60分左右，故C正确.
故选：B
2．C
【分析】将所有传球的结果列出，再利用古典概型求结果.
【详解】传球的结果可以分为：
分别传给3人时：乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种；
若传给2人时：乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种；
再传给甲的：乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15种；
共27种，只传乙一次的有16种，所以所求概率为
故选：C
3．D
【分析】先假设是实线，计算出所有的最短路径的条数，然后减去经过的最短路径的条数，从而求得正确答案.
【详解】先假设是实线，
则从到，向上次，向右次，最短路径有条，
其中经过的，即先从到，然后到，最后到的最短路径有条，
所以，当不通时，最短路径有条.
故选：D
4．B
【分析】根据题中的数据表及独立性检验的知识即可判断.
【详解】解：与专业关联的的观测值，明显大于，明显小于，所以有的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联，所以不正确；
因为，故正确；根据题中的数据表列出专业与甲､乙公司的关联表可知，理科专业的学生更倾向于选择甲公司，列出性别与甲､乙公司的关联表可知，
女性毕业生更倾向于选择乙公司，所以C，D均不正确.
故选：B.
5．A
【分析】由题意可得，分两个地区各分2人，另一个地区分1人和两个地区各分1人，另一个地区分3人两种情况，对两种情况的种数求和，即可求解．
【详解】解：①当两个地区各分2人，另一个地区分1人时，总数有种；
②当两个地区各分1人，另一个地区分3人时，总数有种．
故满足条件的分法共有种．
故选：A
6．B
【分析】先根据图像求出考试成绩在内的频率，在再直接根据中位数的定义计算即可得到答案.
【详解】考试成绩在内的频率为：
，
则前4组考试成绩频率分别为：
，
，
，
，
考试成绩的中位数为，
则，
故选：B.
7．A
【分析】使用二项式定理将式子展开即可求解.
【详解】，各项系数和为.
故选：A.
8．B
【分析】利用二项式定理求得中项的系数，进而可求得的展开式中含项的系数.
【详解】当且，的展开式通项为，
所以，的展开式中含的系数为，
的展开式中，含项的系数是.
故选：B.
9．D
【分析】根据第2项和第6项的二项式系数相等，可求得n值，根据展开式的通项公式，令，求得r值，代入即可得答案.
【详解】由题意得，所以，
则的展开式的通项公式为，
令，解得，
所以常数项为，
故选：D．
10．83
【分析】由题中茎叶图可得八次成绩的具体数据，再根据中位数定义可得.
【详解】由题中茎叶图可得八次成绩的具体数据为：
69，72，75，82，84，86，90，95，
则中位数为.
故答案为：83.
11．
【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.
【详解】根据题意，若王大爷直到第4次才获奖，
则其第4次才集全“和谐”“和睦”“复兴”三种卡片，则甲第4次获得的卡片有3种情况，
前三次获得的红包为其余的2种，有种情况，
则他获得奖次的不同情形种数为．
故答案为：.
12．
【分析】计算出人去接种新冠疫苗的不同结果数，以及恰有人接种同一种疫苗的不同结果数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由题意，每位接种者等可能地从种任选一种接种，
由分步乘法计算原理知，共有不同的结果，
恰有人接种同一种疫苗，可先从5人中任选3人并成一组，有种结果，
这个小团体有种疫苗可选，另外两人各有种疫苗可选，故共有种，
故恰有三人接种同一种疫苗共有种不同结果，
由古典概型概率计算公式得：．
故答案为：.
13．15
【分析】先写出二项展开式的通项公式，令指数为0，再利用组合数公式求常数项.
【详解】的展开式的通项公式为
，
令，解得，
所以展开式中常数项是.
故答案为：15.
14．
【分析】年销售量y万台关于年份x的线性回归方程必过点，是本题的关键.
【详解】，
故，
，
所以线性回归方程为
故答案为：
15．540
【分析】先平均分组，再将三个小组分配到3所学校，运用排列组合知识进行求解.
【详解】第一步，将6名护士平均分给3名医生组成三个小组，有种不同的分法；第二步，将三个小组分配到3所学校，有种不同的分法．故不同的分配方法共有种．
故答案为：540
16．#
【分析】根据题意求得基本事件总数为个，其中A、B两位同学抽到同一本书的基本事件有个，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】每位同学从这4本书中随机抽取1本，基本事件总数为个，
其中A、B两位同学抽到同一本书，基本事件有个，
所以A、B两位同学抽到同一本书的概率为．
故答案为：
17．(1)（i）非贫困村的的平均值为万元；贫困村的的平均值为万元；（ii）万元
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）（i）由平均数公式求解即可；（ii）由题意直接列式计算即可；
（2）首先结合超几何分布的概率公式求概率，进而可得分布列，再由数学期望公式求数学期望即可.
【详解】（1）（i）非贫困村的GDP的平均值为
（万元）.
贫困村的GDP的平均值为
（万元）.
（ii）∵贫困村与非贫困村的抽样比为2∶3，
∴该地区贫困村的个数为80，非贫困村的个数为120，
∴该地区2018年度的GDP的总值约为（万元）.
（2）由题意及（i）知GDP低于贫困村GDP平均值的村有3个，
则X的所有可能取值为0，1，2，3，则
， ， ，，
∴X的分布列为
.
18．(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)选择每天生产配送27百份
【分析】（1）列出可能取值，分别计算出相应的概率，列出分布列表，即可求解.
（2）根据利润的计算方式，分别计算出当每两天生产配送27百份时的利润和当每两天生产配送28百份时利润，比较后可得答案.
【详解】（1）根据题意可得：的所有可能取值为，
，
，
的分布列为：
（2）当每两天生产配送27百份时，利润为：
（百元）
当每两天生产配送28百份时，利润为：
（百元）
，选择每天生产配送27百份.
19．(1)0.32
(2)
(3)边锋，理由见解析.
【分析】（1）根据条件概率公式分别计算出甲球员在担任边锋、前卫、中场时赢球的概率，最后相加得到甲球员参加比赛时，球队赢球的概率，再用1去减即可．
（2）根据条件概率的计算公式即可求解，
（3）由三个位置上的赢球几率，即可做出判断.
【详解】（1）设表示“甲球员担当边锋”； 表示“甲球员担当前卫”； 表示“甲球员担当中场”； 表示“球队赢了某场比赛”，
则
，
该球队某场比赛输球的概率为，
（2）由（1）知： ,
所以 ，
所以球员甲担当前卫的概率为
（3）同（2）
由于，所以应多安排甲球员担任边锋，来增大赢球的几率.
X
0
1
2
3
P
24
25
26
27
28
29
30