05锥曲线方程（椭圆）-广东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教版A版，20

这是一份05锥曲线方程（椭圆）-广东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教版A版，20，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·广东深圳·高二统考期末）若系列椭圆（，）的离心率，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·广东广州·高二统考期末）椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则的周长的最小值是（ ）
A．14B．15C．18D．20
3．（2023上·广东广州·高二华南师大附中校考期末）已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·广东深圳·高二统考期末）运用微积分的方法，可以推导得椭圆（）的面积为．现学校附近停车场有一辆车，车上有一个长为的储油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为，短轴长为，则该储油罐的容积约为（）（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·广东清远·高二统考期末）已知椭圆C：+=1的离心率为，则C的长轴长为（ ）
A．8B．4C．2D．4
7．（2023上·广东梅州·高二统考期末）已知是椭圆的一个焦点，若椭圆上存在关于原点对称的，两点满足，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023上·广东江门·高二统考期末）已知椭圆的左顶点为，为坐标原点，，两点在上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023上·广东广州·高二广东实验中学越秀学校校考期末）如图，哈雷彗星围绕太阳运动的轨迹是一个非常扁的椭圆，太阳位于椭圆轨迹的一个焦点上，已知哈雷彗星离太阳最近的距离为，最远的距离为.若太阳的半径忽略不计，则该椭圆轨迹的离心率约为（ ）

A．B．
C．D．
二、填空题
10．（2023上·广东·高二期末）已知O为坐标原点，直线与椭圆交于A，B两点，P为的中点，直线的斜率为，若，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
11．（2023上·广东广州·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为F，过F点作圆的一条切线，切点为T，延长FT交椭圆C于点A，若T为线段AF的中点，则椭圆C的离心率为 ．
12．（2023上·广东梅州·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等腰直角三角形，则 .
13．（2023上·广东江门·高二统考期末）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面s千米，远地点B（离地面最远的点）距地面t千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则下列选项正确的是 （填写序号）．
①；
②；
③；
④．
14．（2023上·广东深圳·高二校考期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，若，且，则 .
15．（2023上·广东佛山·高二统考期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个集点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜.它的形状是旋转椭圆.为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝，与影片门应位于椭圆的两个焦点处.已知椭圆：，椭圆的左右焦点分别为，，一束光线从发出，射向椭圆位于第一象限上的Р点后反射光线经过点，且，则的角平分线所在直线方程为 .
16．（2023上·广东广州·高二秀全中学校考期末）设椭圆的左、右焦点分别为，则下列说法中正确的有 （填序号，漏填或错填都没有分）
（1）离心率
（2）过点的直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为
（3）若P是椭圆C上的一点，则面积的最大值为1
（4）若P是椭圆C上的一点，且，则面积为
三、解答题
17．（2023上·广东深圳·高二统考期末）在直角坐标系上，椭圆的右焦点为，的上、下顶点与连成的三角形的面积为．
(1)求的方程；
(2)已知过点的直线与相交于，两点，问上是否存在点，使得？若存出，求出的方程．若不存在，请说明理由
18．（2023上·广东广州·高二统考期末）已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点为椭圆上的两点，为坐标原点，，求的取值范围.
19．（2023上·广东肇庆·高二统考期末）已知椭圆，左顶点为，右顶点为.
(1)求椭圆的长轴长与短轴长的差值；
(2)已知定直线，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线，分别与直线交于点与.当的长度最小时，椭圆上是否存在这样的点，满足的面积为？若存在，确定点的个数；若不存在，请说明理由.
20．（2023上·广东汕尾·高二统考期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，且.过右焦点的直线与交于两点，的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过原点作一条垂直于的直线交于两点，求的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】先化为标准方程，直接求出离心率列方程即可求解.
【详解】椭圆可化为：.
因为，所以离心率，解得：.
故选：A
2．C
【分析】不妨取为左焦点，为右焦点，连接，，则为平行四边形，的周长大于等于，计算得到答案.
【详解】如图所示：不妨取为左焦点，为右焦点，连接，，
则为平行四边形，
的周长为，
当，为椭圆上下顶点时等号成立.
故选：C
3．C
【分析】设椭圆的左焦点为，连接、、，推导出四边形为矩形，设，在中，利用勾股定理可解得，然后在中，利用勾股定理可求得椭圆的离心率的值.
【详解】解：如图，设椭圆的左焦点为，连接、、，
由题意可知，、关于原点对称，且为的中点，
所以四边形为平行四边形，
又因为，所以四边形为矩形.
因为，设，，
则，，
所以，，
在中，，即，
解得，所以，，，
在中，由勾股定理可得，即，
整理可得，解得.
故选：C.
4．B
【分析】先求出椭圆的面积，进而求出储油罐的体积.
【详解】由题意，椭圆的长轴长为，短轴长为，
所以
所以椭圆面积为.
因为储油罐为一个柱体，所以体积为.
故选：B
5．A
【分析】根据椭圆的焦点位置可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，则，解得.
故选：A.
6．B
【分析】直接利用椭圆的标准方程性质和离心率的定义即可求解.
【详解】依题意，因为椭圆C的离心率为，所以=，得m=2，
故长轴长为2=4．
故选：B.
7．C
【分析】设，，.由已知可得.进而根据椭圆的方程消去，得到.然后根据椭圆的范围，即可求出，进而求出答案.
【详解】设，，.
则，，
由已知可得，，即，
整理可得.
因为，所以，
所以，
又由题意可得，所以.
又，所以，
所以，即，所以.
故选：C.
8．A
【分析】根据题意可得直线的方程为，直线的方程为，通过联立方程组可得、同．根据，即化简即可求解．
【详解】如图所示，
四边形为平行四边形，，则，
所以直线的方程为：，直线的方程为：，
联立，解得：．
同理联立，化为：．
解得．
因为，即，
所以．
化简为：．
所以椭圆的离心率．
故选：A．
9．C
【分析】根据题意，列出与，列方程组，求出与，得到离心率，可得答案.
【详解】根据图像，设椭圆的长轴为，焦距为，故根据题意，
，，
解得，，
.
故选：C
10．．
【分析】设，，根据题意利用两点坐标表示斜率公式和中点坐标公式可得；由点差法可得，进而，结合离心率的概念即可求解.
【详解】设，，
则，
所以，得.
将A、B两点坐标代入椭圆方程，得，
两式相减，得，有，所以，
由，得，即，
由，得，即，解得，
所以椭圆的离心率的取值范围为.
故答案为：.
11．/
【分析】利用图中的几何关系及椭圆的定义即可求解.
【详解】设椭圆的左焦点为,连接，,
由几何关系可知，则，
即，
由椭圆的定义可知，即且，
整理得，解得，
.
故答案为：.
12．8
【分析】根据为等腰直角三角形得到，代入计算得到答案.
【详解】椭圆，故，为等腰直角三角形，故，
故，即，.
故答案为：
13．①②④
【分析】结合题意和给定的椭圆的图形，推得之间的关系，逐项判定各选项，即可求解.
【详解】由题意，近地点A距地面千米，远地点距地面千米，
可得，，即，，故①②正确；
由，可得，故③不正确；
又由，故④正确.
故答案为：①②④
14．/0.5
【分析】分析得到点在线段的垂直平分线上，即点横坐标为，设出，联立椭圆方程，设得到两根之和，利用列出方程，求出.
【详解】由题意得：，
因为，所以为的中点，
因为，所以点在线段的垂直平分线上，即上，
即点横坐标为，
设，与联立得：，
设，
则，故，解得：，
因为，所以.
故答案为：
15．
【分析】先利用同角三角函数基本关系求出，再在中利用余弦定理及椭圆的定义求出，进而得到为直角三角形，利用中角的关系可求出，再通过求出点坐标，则直线方程可求.
【详解】如图，设的角平分线与轴交于点， ，
，
设，
则，解得
，即为直角三角形
又，，
，
，
当时，，得，，
，即
故答案为：
16．（2）（3）（4）
【分析】对于（1），由椭圆方程求出a、b、c的值，求得椭圆离心率即可判断；
对于（2），求出的周长即可判断；
对于（3），由三角形面积公式求出面积的最大值即可判断；
对于（4），方法1：直接应用椭圆中焦点三角形的面积公式：，（其中b为椭圆的短半轴长，为）；
方法2：由椭圆定义、余弦定理以及三角形面积公式可得的面积即可判断.
【详解】对于（1），由题意知，，，∴，
∴，故（1）错误；
对于（2），，故（2）正确；
对于（3），，当点P在短轴端点时取最大值，故（3）正确；
对于（4），方法1：；
方法2：∵，
∴在中，由余弦定理得：
解得：，
∴，故（4）正确.
故答案为：（2）（3）（4）.
17．(1)
(2).
【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆的方程；
（2）分类讨论：①当的斜率不存在时和②当的斜率存在时，设的方程为，，利用“设而不求法”求解.
【详解】（1）依题意得，所以，
另由，，解得：，
所以椭圆的标准方程为程为.
（2）①当的斜率不存在时，则，，
因为，所以点，
而点不在椭圆上，故不存在点符合题意.
②当的斜率存在时，设的方程为，，
联立得，
则，而，
因为，则，所以，
而在曲线上，所以，即，所以，符合题意.
综上所述，存在点满足题意，此时直线的方程为
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆的定义求解即可；
（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，再利用斜率的计算公式和数量积的坐标表示即可求解，注意讨论斜率不存在的情况.
【详解】（1）由题意可得，，
又因为椭圆中，所以，，，
故椭圆的方程为.
（2）当直线斜率存在时，设，，直线方程为，
联立得，
，即，
所以，，
因为，所以，
又因为
，
所以，即，
所以，
因为，所以，即，
当直线斜率不存在时，设，，，且，
所以，解得，
又因为在椭圆上，则，
所以，，
所以，
综上的取值范围为.
19．(1)2；
(2)存在，点的个数为2.
【分析】（1）根据椭圆的定义，分别求出长轴与短轴长，再求差值即可；
（2）设出直线AS的方程，表达出点M，N的坐标，利用基本不等式求出线段MN的长度的最小值；再求出的长度，得到到直线的距离，利用点到直线距离得到T所在的直线方程，结合根的判别式得到点的个数.
【详解】（1）由题意，椭圆的长轴为，短轴长为，
故长轴长与短轴长的差值为；
（2）直线的斜率k显然存在，且k>0，故可设直线AS的方程为，从而，
由，联立得：，
设，则，
解得：，从而，即，
又，且，
故直线BS的斜率为，则直线BS的方程为，
由，解得：，
所以，
故，又，
所以，当且仅当即时等号成立，
故线段MN的长度的最小值为，
又，此时，
故，
要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，
其中直线：，即，
设平行于的直线为，则由，解得：或，
当时，过原点，与椭圆方程有两个交点；
当时，，联立椭圆方程得：，
由得：与椭圆方程无交点；
综上：点的个数为2．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求得即可解决；
（2）分直线斜率不存在，斜率存在两种情况，斜率存在时设，直线，直线，联立椭圆方程求得，，得，令，则不妨设，即可解决.
【详解】（1）由，得，
又的周长为，即，
，
椭圆的标准方程为.
（2）设，
当直线的斜率为0时，得；
当直线的斜率不为0时，设直线，直线，
联立直线和椭圆的方程，并消去整理得
，
.
由根与系数的关系得，
所以.
联立直线和椭圆的方程，并消去整理得
，由根与系数的关系得，
，
所以.
令，则
不妨设
，
，
，
，
综上可得，的取值范围为.