01空间向量与立体几何-天津市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教版A版）

这是一份01空间向量与立体几何-天津市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教版A版），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·天津·高二统考期末）已知空间向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·天津·高二统考期末）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．（2020上·天津河西·高二统考期中）在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A．B．
C．D．
4．（2023上·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）如图，在直三棱柱中，，，，点D是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
6．（2023上·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）如图，在三棱锥中，底面，，，，D为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·天津西青·高二统考期末）已知向量，，若，则k的值为（ ）
A．B．C．D．4
8．（2022上·天津津南·高二天津市咸水沽第一中学校考期末）正四棱锥中，设，，，.则（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022上·天津南开·高二统考期末）已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．（2021上·天津南开·高二南开大学附属中学校考期中）在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
11．（2020上·天津河西·高二期末）若，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2023上·天津·高二校联考期末）在四面体中，，Q是的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（ ）．
A．B．
C．D．
二、填空题
13．（2021上·天津·高二统考期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是
14．（2023上·天津·高二校联考期末）已知向量，，则向量 ．
15．（2023上·天津·高二统考期末）在平行六面体中，，，，，则的长为 ．
16．（2023上·天津·高二统考期末）已知空间向量，，且与是共线向量，则实数x的值为 ．
17．（2023上·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考期末）在长方体中，，，，点为的中点，则点到平面的距离为 ．
18．（2022上·天津和平·高二耀华中学校考期末）如图，在正方体中，为的中点，则平面与平面的夹角余弦值为 .
三、解答题
19．（2023上·天津津南·高二校考期末）如图，平面，.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
20．（2023上·天津·高二校联考期末）在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面，，，，E为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
(3)在线段上是否存在点P，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
21．（2023上·天津·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，E为中点，作交于点F．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
22．（2023上·天津南开·高二统考期末）如图，在直三棱柱中，，，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值．
参考答案：
1．A
【分析】根据向量数量积的坐标运算求解.
【详解】，
，
故选：A
2．B
【分析】建立如图所示，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，根据公式点到直线的距离为计算即可解决.
【详解】由题知，棱长为1的正方体中，为线段的中点，
所以建立如图所示，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，
所以,
所以,
所以点到直线的距离为,
故选：B
3．A
【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.
【详解】因为在平行六面体中，，
所以.
故选：A.
4．B
【分析】建系，求两平面的法向量，利用空间向量解决面面夹角问题.
【详解】如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，则，
设平面的法向量，
∵，则，
令，则，
∴，
同理可得：平面的法向量，
故，
设平面与平面所成角为，则，
故平面与平面所成角的正弦值.
故选：B.
5．C
【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，
则，可取，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：C.

6．D
【分析】建系，利用空间向量解决异面直线夹角的问题.
【详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则,
∵，则，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
7．D
【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解.
【详解】因为，所以解得，
故选:D.
8．A
【分析】根据空间向量基本定理，先表示出，可得，进而根据，即可得出结果.
【详解】，
所以.
所以.
故选：A.
9．C
【分析】根据空间向量的线性运算计算即可.
【详解】
.
故选：C.
10．A
【分析】建立空间直角坐标系，求直线与的方向向量，利用向量夹角公式求夹角；
【详解】以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
，，所以，，
所以，
故选：A.
11．C
【分析】利用向量线性运算的坐标表示即可求得结果.
【详解】由可知，
根据向量减法的坐标运算法则可得，
即.
故选：C
12．D
【分析】利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解即可
【详解】因为，所以，
因为Q是的中点，所以，
因为M为PQ的中点，所以，
故选：D
13．
【分析】由向量在向量上的投影向量为,，计算即可求出答案．
【详解】向量，，
则，，，
所以向量在向量上的投影向量为
,,0,,0,，
故答案为：．
14．
【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】向量，,
.
故答案为：.
15．
【分析】由空间向量基本定理得到，平方后得到，得到的长.
【详解】由题意得：，
故
，
故.
故答案为：
16．
【分析】根据向量共线得到，列出方程组，求出答案.
【详解】设，则，解得：.
故答案为：-6
17．/
【分析】作出长方体，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及向量，由空间向量求点到平面的距离方法，即可求解.
【详解】作出长方体，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系：
因为，，，点为的中点，
所以，，，，
，，，
设平面的法向量，
则有，令，取，
所以点到平面的距离，
故答案为：.
18．
【分析】以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，由向量法求面面角即可求得余弦值
【详解】以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，为的中点，则有，
设平面的法向量为，
则有，令得，
平面的法向量为x轴，不妨取，
设平面与平面的夹角为，则有.
故平面与平面的夹角余弦值为.
故答案为：
19．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用线面平行的判定证面、面，再由面面平行的判定得面面，最后根据面面平行的性质证结论；
（2）构建空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值；
（3）由（2）所得坐标系，向量法求面面角的余弦值；
【详解】（1）由，面，面，则面，
由，面，面，则面，
而，面，故面面，
由面，则平面；
（2）由平面，平面，则，又，
以为原点构建空间直角坐标系，，，
所以，则，，，
令面的一个法向量，则，若，则，
所以，即直线与平面所成角的正弦值为.

（3）由（2）知：，则，
令面的一个法向量，则，若，则，
所以，即平面与平面夹角的余弦值为.
20．(1)证明见解析；
(2)；
(3)不存在点P使直线PE与平面MBC所成角为.理由见解析.
【分析】（1）设CM与BN交于F，连接EF，由题意可知四边形BCNM是平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）根据题意可得，利用线面垂直的性质定理得到，建立如图空间直角坐标系D-xyz，利用空间向量法求解面面所成角即可；
（3）设，则，由（2）知平面MBC的法向量，利用空间向量法求解线面角，即可判断.
【详解】（1）因为四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，
所以且，且，
则且，所以四边形BCNM是平行四边形，
设CM与BN交于F，则F是BN的中点．连接EF，又E是AB的中点，
所以，又平面MEC，平面MEC，
所以平面MEC．
（2）连接DE，由四边形ABCD是菱形，，
所以为正三角形，又E是AB的中点，得，即，
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，建立如图空间直角坐标系D-xyz，
则，，，，，
得，，，
设平面、平面MBC的一个法向量分别为、，
则，
令，得，令，得，
∴，，
得，
又平面与平面MBC的夹角为锐角，
∴平面与平面MBC所成角的余弦值为；
（3）设，则，且，
由（2）知平面MBC的法向量为，
设直线PE与平面MBC的所成角为，则，
所以，
解得，不符合题意，
∴在线段AM上不存在点P，使直线PE与平面MBC的所成角为．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明线面垂直；
（2）把二面角计算问题转化为法向量夹角问题.
【详解】（1）证明：依题意得，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
，
因为点为中点，所以，
所以，，又，
而，
所以.
由已知，且，在平面内,
所以平面.
（2）由（1）知为平面的一个法向量，
又，,
设平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角.
，所以，所以
取，则 .
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
22．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，利用坐标法证明即可；
（2）根据空间向量坐标法求解即可；
（3）根据空间向量坐标法求解即可；
【详解】（1）解：依题意，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则．
，
因为，
所以．
（2）解：结合（1）得，
设平面的法向量为，
则
令，得．
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（3）解：结合（1），
设平面的法向量为，
则
令，则，
由（2）知平面的法向量为
设平面和平面的夹角为，
则．
所以，平面与平面的夹角余弦值为.