04圆锥曲线（椭圆）-天津市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教版A版）

这是一份04圆锥曲线（椭圆）-天津市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教版A版），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·天津·高二校联考期末）已知椭圆，A、B为椭圆左右顶点，F为左焦点，点P为椭圆上一点，且轴，过点A的直线与线段交于M点，与y轴交于点，若直线交y轴于H点，H点为线段上靠近O点的三等分点，则椭圆的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023上·天津·高二统考期末）已知F是椭圆的左焦点，点，若P是椭圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·天津南开·高二统考期末）椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）已知点O为坐标原点，点F是椭圆的左焦点，点，分别为C的左，右顶点，点P为椭圆C上一点，且轴，过点A的直线l交线段PF于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE上靠近O点的三等分点，则椭圆C的离心率（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考期末）椭圆上一点到一个焦点的距离为7，则点到另一个焦点的距离为（ ）
A．5B．3C．4D．7
6．（2023上·天津西青·高二统考期末）椭圆与曲线的（ ）
A．焦距相等B．离心率相等C．焦点相同D．曲线是双曲线
7．（2022上·天津津南·高二天津市咸水沽第一中学校考期末）已知椭圆的下焦点，M点在椭圆C上，线段MF与圆相切于点N，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022上·天津宝坻·高二校考期末）设，是椭圆：的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与直线相交于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率的值是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022上·天津河北·高二统考期末）椭圆的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．（2021上·天津红桥·高二统考期末）已知椭圆的方程为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
11．（2021上·天津和平·高二校考期末）设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
12．（2018上·天津和平·高二统考期末）已知椭圆，，分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2022上·天津·高二统考期末）已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为 .
14．（2020上·天津红桥·高二统考期末）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是 ．
15．（2021上·天津红桥·高二统考期末）设分别是椭圆的左、右焦点，直线过交椭圆于两点，交轴于点，若满足，且，则椭圆的离心率为 .
16．（2021上·天津滨海新·高二统考期末）已知椭圆：的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率为 .
17．（2019上·天津·高二统考期末）已知离心率为的椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若＝0，且△PF1F2的面积为4，则椭圆的方程为 ．
18．（2018上·天津静海·高二静海一中校考期末）已知椭圆的长轴长为，且与椭圆有相同的离心率，求椭圆的方程
19．（2018上·天津和平·高二统考期末）已知椭圆 的离心率 ，则 的值等于 ．
20．（2018上·天津红桥·高二统考期末）椭圆的一个焦点为，则 ．
三、解答题
21．（2023上·天津·高二统考期末）已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，且，求直线l的方程．
22．（2023上·天津南开·高二统考期末）已知椭圆上任意一点到两个焦点，的距离的和为4．经过点且不经过点的直线与椭圆C交于P，Q两点，直线与直线交于点E，直线与直线交于点N．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：的面积为定值．
23．（2023上·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考期末）已知点F为椭圆的右焦点，A为椭圆的左顶点，椭圆的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点A作斜率为k的直线交椭圆于另一点B，
①求的取值范围；
②若，求k的值．
24．（2023上·天津红桥·高二统考期末）设椭圆的离心率，过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，当时，求的值.(为坐标原点)
25．（2022上·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知椭圆，离心率为分别为椭圆的左､右顶点，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)当直线过椭圆的左焦点以及上顶点时，直线与椭圆交于另一点，求此时的弦长.
(3)设直线过点，且与轴垂直，为直线上关于轴对称的两点，直线与椭圆相交于异于的点，直线与轴的交点为，当与的面积之差取得最大值时，求直线的方程.
参考答案：
1．D
【分析】根据题意可知、，由相似三角形的性质可得、，列等式，解之即可求解.
【详解】由题意知，轴，在中，，
则，①；
在中，，
则，
所以，即②，
由①②，得，解得，
所以椭圆的离心率为.
故选：D.
2．A
【分析】设椭圆的右焦点为，，计算得到答案.
【详解】设椭圆的右焦点为，
，
当三点共线，且在之间时等号成立.
故选：A
3．B
【分析】求出、的值，可得出椭圆的离心率的值.
【详解】在椭圆中，，，则，
因此，椭圆的离心率为.
故选：B.
4．D
【分析】根据题设条件，画出图形，设OE上靠近O点的三等分点为N，利用平行关系建立比例式，即可求出椭圆离心率作答.
【详解】如图，设OE上靠近O点的三等分点为N，椭圆的半焦距为c，轴，则，
在中，，在中，由，得，
而，则，即，解得，又，于是，
所以椭圆C的离心率.
故选：D
【点睛】方法点睛：椭圆离心率可借助几何意义求解，题目的条件体现出明显的几何特征和意义，利用几何性质建立关系求解即可.
5．B
【分析】利用椭圆的定义即可求解.
【详解】设椭圆的左右焦点分别为，由定义可知：，
因为椭圆方程为，所以，
则，由题意知点到一个焦点的距离为7，
则点到另一个焦点的距离为，
故选：.
6．A
【分析】根据椭圆的几何性质，曲线，化简为，即可解决.
【详解】对于椭圆可得焦点在轴上，，
所以焦距为8，离心率为，焦点为，
曲线，化简为，
因为，
所以，且，
所以曲线表示焦点在轴上椭圆，
所以，
焦距为8，离心率为，焦点为，
故选：A
7．B
【分析】记上焦点为，圆心为，由线段成比例得出，且，于是有，然后由椭圆定义和垂直得出关于齐次等式，化简后可求得离心率．
【详解】如图，记上焦点为，圆心为，则，连接，，
，，又，则，
所以，，
，则，
由椭圆定义，
又，所以，所以，
，即，，
，所以．
故选：B
8．A
【分析】先求得点的坐标，然后根据列方程，化简求得离心率.
【详解】由于为等腰三角形，
所以，.
故选：A
9．B
【分析】根据方程可得，且焦点在轴上，然后可得答案.
【详解】由椭圆的方程可得，且焦点在轴上，
所以，即，故焦点坐标为
故选：B
10．B
【分析】由椭圆长轴的定义即可求得答案.
【详解】由题意，，所以长轴长为8.
故选：B.
11．D
【分析】由条件，设，则 ，所以,即，即，求出答案.
【详解】解：设椭圆方程为，
由条件可得，设，则
所以，则
因为为等腰直角三角形，所以,即
所以，即，解得
故选：D
12．A
【分析】设，得到，结合，得到，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】由题意，椭圆，可得，，
设，代入椭圆的方程，可得，
则，
即，即.
又因为，所以.
故选：A.
13．
【分析】利用椭圆的定义可得轨迹方程.
【详解】连接，由题意，，则，
由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为，长半轴长为2，
故短半轴长为1，故轨迹方程为：.
故答案为：.
14．4
【分析】根据题意得，再根据离心率公式求解.
【详解】解：由题知，
因为椭圆离心率是，所以，解得.
故答案为：4.
15．
【分析】利用已知条件求出点A的坐标,利用两点同的距离公式求得，，利用椭圆的定义求得，整理求得离心率.
【详解】设点A坐标为,，所以有,解得：.
因为，所以直线l的方程为，
所以点，
所以有，，
所以，
所以.
故答案为：.
16．
【解析】根据数形结合分析，可得，并根据勾股定理，可得，计算离心率.
【详解】如图，首先画出函数图象，
，，
又，，且，且，
，，
根据椭圆的定义可知，
由勾股定理可知，即
整理为，即，
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.
17．
【分析】由椭圆离心率为得：，由＝0得为直角三角形，再由椭圆定义及三角形面积公式、勾股定理列方程组即可求得，从而得解．
【详解】由椭圆（a＞b＞0）离心率为可得：，
又，代入上式整理得：，
由＝0得为直角三角形，又△PF1F2的面积为4，
设，，则解得：，
所以椭圆的方程为：．
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及简单性质，向量垂直的数量积关系，考查计算能力，属于中档题．
18．
【分析】先利用长轴长得到，再利用另一个椭圆得到椭圆的离心率，则可求出的值，即可得到答案
【详解】解：因为椭圆的长轴长为，所以即，
椭圆的离心率为，由题意可得椭圆的离心率为，
所以，，
所以椭圆的方程为，
故答案为：
19．或
【详解】当焦点在轴上时，，，，当焦点在轴上，解得或,故答案为或.
20．3
【分析】由题意可得焦点在轴上，故，根据可求解.
【详解】椭圆的一个焦点为，可知焦点在轴上，
所以.
由，得，即.
故答案为：3.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，将点的坐标代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线l的方程．
【详解】（1）由椭圆过点可知，，
又得，即，
所以，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，，设直线的方程为，联立，解得，
所以，
由得，即，
所以，所以，，
所以，化简得，
所以，所以直线的方程
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据焦点坐标得出，根据椭圆的定义得出，根据的关系得出，即可得出椭圆方程；
（2）直线方程为，点，，联立方程根据韦达定理得出，，设直线的方程为，得出点的坐标，即可得出直线的方程，得出点的纵坐标，即可得出，即可得出答案.
【详解】（1）由焦点坐标可知，
因为任意一点到两个焦点的距离的和为4，
所以，可得，
又，可得，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）由题意知直线斜率一定存在，设直线方程为，点，，
联立方程，消去得，
则，，
设直线的方程为，则，即，
所以直线的方程为，
可得，
．
所以．
23．(1)
(2)①；②
【分析】(1)利用和可得到，由题意可得到，联立可求得，即可求得答案；
(2)①设点，求出，利用数量积可得到，结合即可求解；
②设直线l的方程为，与椭圆联立得到一元二次方程，利用韦达定理可得到的坐标，再利用两点距离公式即可求解
【详解】（1）由，得，
再由，解得，
由椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4可得，即，
解方程组，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）①由（1）可得，所以根据题意可得，设点，
则
∴
由题意得，所以，
，即的取值范围为；
②由①可知，
由题意可知直线的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为，
于是A、B两点的坐标满足方程组，消去y并整理得
，，
所以，得，从而，
所以，
两边平方可得整理得，即，
解得，满足，
所以直线l的斜率为.
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率、椭圆的关系和椭圆所过点可构造方程组求得，由此可得椭圆方程；
（2）将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，根据垂直关系可得，利用向量数量积坐标运算和韦达定理结论可构造方程求得结果.
【详解】（1）离心率，，，
椭圆方程为，又椭圆过点，，解得：，
，，椭圆的方程为：.
（2）由得：，
则，解得：；
设，，，，
，，
解得：，均满足，.
25．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由题意列出方程组解出即可；
（2）根据的坐标，计算直线的方程，联立椭圆方程，解出,利用两点间的距离公式计算即可.
（3）根据题意直线的斜率存在且不为0，设直线方程，联立解出点，根据对称性得出点，在联立直线与椭圆方程，解出点，然后求出直线方程，令，得，从而得到，由图可知：与的面积之差为，利用三角形面积公式写出，利用基本不等式求出最值，从而得直线的斜率.
【详解】（1）由椭圆的离心率为，所以，①
又， ②
设过左焦点且垂直于轴的直线为：，
代入中，结合②化简得：
，
所以过左焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为：
， ③
联立①②③解得：，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）由（1）知
所以直线的方程为：
，即
，代入中消去得：
，解得：或，
当时，为点，
当时，，
所以 ,
所以.
（3）由（1）知，如图所示：
连接，
因为直线过点，且与轴垂直，
所以直线方程为：，
由题意得直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为：，
联立得：
点，又为直线上关于轴对称的两点，
所以，
联立，消去整理得：
，解得：
或，由点异于点，
所以将代入中得：
，即
所以直线的方程为：
，
令，，
所以，
由图可知：与的面积之差为：
，
因为
，
当且仅当时取等号，
所以当与的面积之差取得最大值时，
直线的方程为：，
即：或.