2024辽宁省部分高中高一上学期期末联考试题数学含解析

这是一份2024辽宁省部分高中高一上学期期末联考试题数学含解析，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
411 231 324 412 112 443 213 144 331 123
114 142 111 344 312 334 223 122 113 133
由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）．
A. B. C. D.
8. 已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A. B. 函数为奇函数
C. D. 函数既不是奇函数也不是偶函数
二、多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分．全对得5分，漏选得2分，错选不得分）
9. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 和不能构成一组基底
10. 已知函数的图象如图所示，当时，有，则下列判断中正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（ ）
A. 甲地：中位数为2，极差为5
B. 乙地：总体平均数为2，众数为2
C. 丙地：总体平均数1，总体方差大于0
D. 丁地：总体平均数为2，总体方差为3
12. 如图，对于任意正数，．记曲线与直线，，所围成的曲边梯形面积为，并约定和．已知，则以下命题正确的有（ ）
A.
B.
C. 对任意正数k和，有
D. 对任意正数k和，有
第II卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分．）
13. 函数（且）的反函数过定点_________．
14. 如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是各6名球员某份比赛的得分数据（单位：分）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则______.

15. 若函数的定义域为，则的取值范围是______.
16. 已知函数则函数有_________个零点．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知幂函数，
（1）求的值；
（2）若_________写出函数的单调区间（不需证明单调性），并利用的单调性解不等式．
①函数为奇函数；②函数为偶函数，从这两个条件中任选一个填入横线．
18. 碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代．设生物体内的碳14的含量为，死亡年数为．
（1）试将表示为函数；
（2）不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的20%，请推算该生物死亡的年代距今多少年？（参考数据：）
19. 辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）补全频率分布直方图，若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；
（2）采用分层随机抽样方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；
（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，A，B，C，D五个等级．若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响．甲在每科笔试中取得，A，B，C，D的概率分别为，，，，；乙在每科笔试中取得，A，B，C，D的概率分别为，，，，；甲、乙在面试中通过的概率分别为，．求甲、乙能同时参加冬令营的概率．
20. 已知函数．
（1）当时，解不等式：；
（2）当时，记，若对任意的，函数的图像总在函数的图像的下方，求正数的取值范围．
21. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值．
22. 已知是定义在上的奇函数．
（1）求的值，指出的单调性（单调性无需证明）；
（2）若函数图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域；
（3）若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围．2023—2024学年度上学期期末考试高一试题
数 学
考试时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先解对数不等式和绝对值不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由，即，所以，
所以，
由，即，解得，
所以，
所以.
故选：C
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件求解即可.
【详解】因为，而推不出，例如满足，但不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
3. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数的单调性判断出，再利用对数函数的单调性判断出即可.
【详解】，因为在上单调递减，且，所以，即；
因为在上单调递减，且，所以，即；
因此.
故选：C.
4. 袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
411 231 324 412 112 443 213 144 331 123
114 142 111 344 312 334 223 122 113 133
由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用列举法求出恰好在第三次就停止摸球的随机数有3个，再利用古典概型的概率求解.
【详解】由题得恰好在第三次就停止摸球的随机数有：324，443，334，共有3个.
由古典概型概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率为.
故选：B
5. 已知，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可.
【详解】因为，，
且，
所以，即，解得.
故选：B
6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数型复合函数的单调性求出的单调区间，即可求出参数的取值范围.
【详解】对于函数，令，解得或，
所以函数的定义域为，
又在上单调递减，在上单调递增，
在定义域上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为函数在上单调递增，
所以，即的取值范围是.
故选：A
7. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于x的不等式的解集是，利用韦达定理可得，将不等式等价转化为，进而求解.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以的两根是或2，由韦达定理可得：，
所以可转化为，解得或.
所以原不等式的解集为，
故选：B.
8. 已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A. B. 函数奇函数
C. D. 函数既不是奇函数也不是偶函数
【答案】C
【解析】
【分析】利用赋值法得到，再令即可求出，从而判断A、B，在由赋值法判断C、D.
【详解】依题意，，，
令得，
所以，则，
令，则，所以，故A错误；
因为，所以不是奇函数，故B错误；
，故C正确；
令可得，所以，
所以为偶函数，故D错误；
故选：C
二、多项选择题（本题共4小题，每题5分，共20分．全对得5分，漏选得2分，错选不得分）
9. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 和不能构成一组基底
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据正八边形的结构性质及向量的共线、线性运算逐项判断即可得解.
【详解】因为正八边形中，，所以，但方向不同，所以不正确，故A错误；
由，所以正确，故B正确；
由正八边形知，，且,
根据向量加法法则可知：
为以为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量，
所以，又，
与以为始点的一条对角线所对应的向量共线，所以，故C正确；
在正八边形中，，和平行，所以和共线，故和不能构成一组基底，故D正确.
故选：BCD
10. 已知函数的图象如图所示，当时，有，则下列判断中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据的定义域为，分情况得到，判断A选项；根据，得到，判断B；再结合时，得到，判断C选项；根据，得到，排除D选项.
【详解】由图象可得，的定义域为，所以可能是的解，也可能是的解，
当是的解时，，此时的解为，跟题意不符；
当是的解时，，符合要求，故A正确；
因为，所以，解得或，
因为，所以，故B正确；
当时，，而，所以的符号在时不变，则的符号也不变，所以只能大于零，即，故C正确；
因为，，所以，即，故D错误.
故选：ABC.
11. 在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（ ）
A. 甲地：中位数为2，极差为5
B. 乙地：总体平均数为2，众数为2
C. 丙地：总体平均数为1，总体方差大于0
D. 丁地：总体平均数为2，总体方差为3
【答案】AD
【解析】
【分析】逐个选项分析是否一定满足每天新增疑似病例不超过7人即可.
【详解】对A，因为甲地中位数为2，极差为5，故最大值不会大于，故A正确；
对B，若乙地过去10日分别为，则满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B错误；
对C，若丙地过去10日分别为，则满足总体平均数为1，总体方差大于0， 但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C错误；
对D，利用反证法，若至少有一天疑似病例超过7人，则方差大于.与题设矛盾，故连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故D正确.
故选：AD
12. 如图，对于任意正数，．记曲线与直线，，所围成的曲边梯形面积为，并约定和．已知，则以下命题正确的有（ ）
A.
B.
C. 对任意正数k和，有
D. 对任意正数k和，有
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据新定义中的运算律和及逐项计算分析即可得解.
【详解】，故A正确；
，
，
，故B错误；
对任意正数k和，因为，
，所以，故C正确；
对任意正数k和，则，
，
故，故D正确.
故选：ACD
第II卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分．）
13. 函数（且）的反函数过定点_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数的性质及反函数的性质计算得到.
【详解】对于函数（且），令，即，所以，
即函数（且）恒过点，
所以函数（且）的反函数恒过点.
故答案为：
14. 如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是各6名球员某份比赛的得分数据（单位：分）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则______.

【答案】
【解析】
【分析】根据茎叶图进行数据分析，列方程求出x、y即可求解.
【详解】由题意，甲的中位数为：，故乙的中位数①
，
，
因为平均数相同，所以②，
由①②可得，，
所以，
故答案为：.
15. 若函数的定义域为，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数定义域为R，转化为不等式恒成立，即可得到结论．
【详解】函数的定义域为R，
不等式，对任意恒成立，
当时，不等式等价为，不恒成立，此时不满足题意．
当，要使不等式恒成立，则满足，解得，
即实数m的取值范围为.
故答案为：
16. 已知函数则函数有_________个零点．
【答案】4
【解析】
【分析】令，由可得，，转化为数形结合，判断图象交点个数，即可得解.
【详解】令，由可得，，
作与的图象，如图，
由图象知有两个交点，分别设横坐标为，
则，
由可知或，有两个根，
由，显然有两个根，
综上，有4个根，即有4个零点.
故答案为：4
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知幂函数，
（1）求的值；
（2）若_________写出函数的单调区间（不需证明单调性），并利用的单调性解不等式．
①函数为奇函数；②函数为偶函数，从这两个条件中任选一个填入横线．
【答案】（1）或
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数为幂函数可知系数为1，解方程即可得解；
（2）选①，根据奇函数确定函数解析式，根据单调性可得不等式求解即可，选②根据偶函数确定，由解析式确定单调性，结合偶函数的性质转化为代数不等式求解.
【小问1详解】
因为为幂函数，
所以，解得或.
【小问2详解】
选①，若函数为奇函数，则，即函数，
此时函数单调递增区间为，
所以，解得，
即不等式的解集为．
选②，若函数为偶函数，则，即函数，
此时函数单调递减区间为，单调递增区间为，
由偶函数性质可知，
由单调性可知，即，解得，
即不等式的解集为．
18. 碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代．设生物体内的碳14的含量为，死亡年数为．
（1）试将表示为的函数；
（2）不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的20%，请推算该生物死亡的年代距今多少年？（参考数据：）
【答案】（1）
（2）13370年
【解析】
【分析】（1）设出函数解析式，代入所给数据，求出得解；
（2）利用函数解析式，根据题意建立方程求解即可.
【小问1详解】
已知碳14含量与死亡年数成指数函数关系，设，
由经过5730年衰减为原来的一半，可得，所以，
故碳14的含量P与死亡年数的函数关系式为；
【小问2详解】
由已知，
所以，
即，
所以推算该生物死亡的年代距今13370年．
19. 辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）补全频率分布直方图，若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；
（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；
（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，A，B，C，D五个等级．若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响．甲在每科笔试中取得，A，B，C，D的概率分别为，，，，；乙在每科笔试中取得，A，B，C，D的概率分别为，，，，；甲、乙在面试中通过的概率分别为，．求甲、乙能同时参加冬令营的概率．
【答案】（1）作图见解析，76.25分；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可；
（2）根据古典概型的概率计算公式求解即可；
（3）根据独立事件的乘法公式求解即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知的频率为
，
所以组的纵轴为，
所以频率分布直方图如下所示：
又，，
所以第分位数位于，且，
所以入围分数应设为76.25分.
【小问2详解】
依题意从抽取人，标记为1,2,3,4；
从抽取，标记为，；
从6人中随机选2人其样本空间可记为
，
共包含15个样本点，即有15种选法．
设事件A=“至少有1名学生成绩不低于90”，
则其中2人都是的样本空间可记为
，共包含6个样本点，即有6种选法．
则；
所以至少有1名学生成绩不低于90的概率为.
【小问3详解】
依题意甲能参加冬令营的概率，
乙能参加冬令营的概率，
二人互不影响，所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．
20. 已知函数．
（1）当时，解不等式：；
（2）当时，记，若对任意，函数的图像总在函数的图像的下方，求正数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，根据对数函数的单调性得到，解得即可；
（2）依题意可得在上恒成立，整理得在上恒成立，设，，则，即可求出参数的取值范围.
【小问1详解】
由，，得，
即，所以，解得，即不等式的解集为．
【小问2详解】
因，
对任意的，函数的图像总在函数图像的下方，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
即，在上恒成立，
整理得在上恒成立，
设，，
则只需要即可，可得，
又因为，所以，所以正数的范围为．
21. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解.
（2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以．
【小问2详解】
因为， ，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
22. 已知是定义在上的奇函数．
（1）求的值，指出的单调性（单调性无需证明）；
（2）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域；
（3）若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围．
【答案】（1），在上单调递增，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义求参数的值，根据复合函数的单调性判断的单调性；
（2）根据函数平移的性质求得参数的值，再求函数的值域；
（3）根据函数单调性结合题意将问题转化为关于的方程有两个不相等的正实根，然后利用一元二次方程根的分布求解即可.
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，
所以，即，
所以，即，
所以，整理得，得，
所以，
所以在上单调递增；
【小问2详解】
由（1）得，
，
因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以函数的值域为；
【小问3详解】
由（1）得，
令，则在上递增，
因为函数在上的值域为，
所以，所以，
因为，
所以关于的方程有两个不相等的正实根，
所以，解得，
即t的取值范围为．
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性、函数图象平移的综合问题，第（3）问解题的关键就是利用转化的数学思想将问题转化为一元二次方程有两个不相等的正实根，然后利用根的分布求解.