广东省江门市蓬江区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份广东省江门市蓬江区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，四象限B．当时，，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．方程x2＝4的解是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝±2D．没有实数根
3．任意翻开人教版九年级上册数学课本，正好是第页．这个事件是（ ）
A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上选项均不正确
4．已知反比例函数，则下列结论不正确的是（）
A．函数图象分别位于第二、四象限B．当时，
C．在每一个象限内，y随x的增大而增大D．函数图象经过点
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
6．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程（ ）
A．B．
C．D．
7．在一个不透明的口袋中装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个、白球7个，且从袋中随机摸出1个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（ ）
A．5B．7C．10D．13
8．如图，、是的切线，A、B为切点，是的半径，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，在y轴上，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，点C刚好在x轴上，点D在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）

A．2B．C．4D．
10．已知二次函数的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．一元二次方程的常数项为 ．
12．抛物线的顶点坐标是 ．
13．某蓄电池的电压36V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的函数表达式为．当时，I的值为 A．
14．如图，四边形是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为和，求阴影部分的面积为 ．
15．如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点P与点C重合，射线从处出发绕点B沿逆时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第13秒时，点E在量角器上对应的读数是 度．
三、解答题
16．（1）解方程：．
（2）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，求此圆锥高的长度．
17．元旦假期全国客流持续回暖，某景区入口检票处有A、B、C、D四个闸机，如图所示，游客领取门票后可随机选择一个闸口通过．
(1)一名游客通过该景点闸口时，选择A闸口通过的概率为______．
(2)当两名游客通过该景点闸口时，请用树状图或列表法求两名游客选择不同闸口通过的概率．
18．为改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住，如图所示．若设绿化带的边长为，绿化带的面积为．
(1)求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大，最大面积是多少？
19．为建设绿色花园城市，某小区要在一块等边空地内修建一个圆形花坛．
(1)实践与操作：要使花坛面积最大，用尺规作图法画出圆形花坛示意图（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)应用与计算：在（1）的条件下，米，求圆形花坛的面积．
20．如图，由绕点C顺时针旋转得到，三点在同一直线上，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，若，求的度数．
21．通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．

(1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标；
(2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由．
22．如图1，的直径，在中，，，，以1cm/s的速度从右向左运动，在运动过程中，点D、E始终在直线上．设运动的时间为t（s），当时，在的右侧，．
(1)当______s时，所在的直线与相切；
当______s时，所在的直线与相切；
(2)当所在的直线与相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积；
(3)当时，如图2，点P是线段上的一个动点，过点P作的一条切线（Q为切点），求线段的最小值．
23．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，大孔顶点P距水面（即），小孔水面宽度为，小孔顶点Q距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)求大孔抛物线的解析式；
(2)现有一艘船高度是，宽度是，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由．
(3)当水位上涨时，求小孔的水面宽度．
参考答案：
1．D
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
2．C
【分析】用直接开平方法求解即可.
【详解】解：∵x2＝4，
∴x＝±2，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如ax2+c=0（a≠0）的方程可变形为x2=-，当a、c异号时，可利用直接开平方法求解．
3．C
【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
【详解】解：任意翻开人教版九年级上册数学课本，正好是第页，这个事件是随机事件，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．利用反比例函数图象上点的坐标特征对D进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、C、进行判断．
【详解】解：A、反比例函数分布在第二、四象限，所以A选项的结论正确，不符合题意；
B、当时，，所以B选项的结论不正确，符合题意；
C、反比例函数在每一个象限内，y随着的增大而增大，所以C选项的结论正确，不符合题意；
D、当时，， 函数图象经过点，所以D选项的结论正确，不符合题意．
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据一元二次方程根的判别式进行求解．
【详解】解：由题意得：
，
∴该方程有两个不相等的实数根；
故选A．
6．C
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据增长率问题进行求解．
【详解】解：由题意可列方程为；
故选C．
7．D
【分析】本题主要考查了已知概率求数量，根据摸到红球的概率等于红球的个数除以球的总数求出球的总数即可得到答案．
【详解】解：∵有红球5个，从袋中随机摸出1个红球的概率是，
∴一共有个球，
∴袋中黑球的个数为，
故选D．
8．B
【分析】本题主要考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解．
【详解】解：∵、是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
9．D
【分析】由绕点A逆时针旋转得到可得为等边三角形，再通过点A的坐标为可求得，最后过点D作轴构造直角三角形求出点D坐标即可求解．
【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，
，
为等边三角形，
点A的坐标为，
，
设则，
，
解得：，
，
过点D作轴如图：

，，
点D坐标为，
点D在反比例函数上，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化—旋转，勾股定理，等边三角形的判定及性质，解答本题的关键是铅锤法构造直角三角形求点的坐标，利用数形结合的思想解答．
10．A
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得该二次函数的图象与x轴交于两点，且，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∵该二次函数的开口向上，对称轴为直线，且只经过三个象限，
∴该二次函数的图象与y轴交于正半轴或过原点，
∴，即，
综上所述：m的取值范围为；
故选A．
11．3
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数且），其中c叫做常数项，据此可得答案．
【详解】解：一元二次方程的常数项为是3，
故答案为：3．
12．
【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的特点，熟练掌握二次函数的顶点式的特点是解此题的关键．
13．4
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，把代入中求出I的值即可．
【详解】解；在中，当时，则，
故答案为：4．
14．
【分析】本题考查了菱形的性质、中心对称图形的性质、菱形的面积公式，熟知菱形的面积公式，利用菱形的性质判断出阴影的面积是菱形面积的一半是解答的关键．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，再根据菱形是中心对称图形判断出阴影的面积是菱形面积的一半即可解答．
【详解】解：如图所示：
菱形的两条对角线的长分别为和，
菱形的面积，
是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形，
，
阴影部分的面积，
故答案为∶．
15．52
【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；连接，由题意易得，点B在以为直径的圆上，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴点B在以为直径的圆上，
由题意可知，
∴，
∵量角器0刻度线的端点P与点C重合，
∴点E在量角器上对应的读数是52度；
故答案为：52．
16．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，求圆锥的高，勾股定理等等：
（1）利用配方法解方程即可；
（2）先求出的长，再根据的长即为扇形底面圆的周长求出的长，即可利用勾股定理求出的长．
【详解】解：（1）
解得；
（2）由题意得，的长为，
∴，
∴
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键；
（1）根据概率公式可直接进行求解；
（2）根据列表法进行求解概率即可．
【详解】（1）解：由题意可得：选择A闸口通过的概率为；
故答案为；
（2）解：设这两名游客为甲和乙，由题意可得如下表格：
由表格可知两名游客选择闸口通过的可能性有16种，其中选择不同闸口通过的情况有12种，
∴两名游客选择不同闸口通过的概率为．
18．(1)，
(2)当时，满足条件的绿化带面积最大，最大面积是
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）由题意易得，然后问题可求解；
（2）根据（1）及二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
∵且，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∵，且，
∴当时，绿化带的面积最大，最大值为；
答：当时，满足条件的绿化带面积最大，最大面积是．
19．(1)图见详解
(2)
【分析】本题主要考查三角形的内切圆，熟练掌握三角形的内切圆是解题的关键；
（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，大于这两点之间距离的一半为半径画弧，交于一点D，连接，交于点N，同理可作的角平分线，三线交于一点O，然后以为半径画圆，进而问题可求解；
（2）由（1）可知米，则有米，然后问题可求解．
【详解】（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：∵是等边三角形，
∴米，，
∵平分，
∴米，
∴米，
由作图可知点O为的内切圆的圆心，也是的重心，
∴米，
∴圆形花坛的面积为．
20．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）由旋转可得，由可得即可求证；
（2）由旋转知即结合三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明∶由旋转知．
，
，
，
是腰三角形；
（2）由旋转知即，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练运用旋转的性质是解题的关键．
21．(1)反比例函数的解析式为，，
(2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用：
（1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标；
（2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案．
【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得：
，解得，
反比例函数的解析式为，
当时，，
，
；
（2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下：
设当时，的解析式为，将、代入得：
，
解得，
的解析式为，
在中，当时，，
在中，当时，，
时，注意力指标都不低于32，
∵，
陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32．
22．(1)1或5；3或11
(2)
(3)的最小值为
【分析】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键；
（1）根据题意及切线的性质进行分类求解即可；
（2）由题意可知当点C与点E重合时，所在的直线与相切时，与有重叠部分，然后根据圆的性质及含30度直角三角形的性质可进行求解；
（3）连接，由题意易得，要使线段为最小值，则需满足为最小即可，根据点到直线垂线段最短可知当时，线段为最小，进而问题可求解．
【详解】（1）解：当点C与点D重合时，所在的直线与相切，则有：；当点C与点E重合时，所在的直线与相切，则的运动路程为，所以；
当与相切时，且切点在线段上时，连接，如图所示：
∴，
∵，，，
∴线段上的高为，
∴点O与点C重合，
∴；
当与相切时，且切点在线段的延长线上时，连接，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述：当或5s时，所在的直线与相切，当或11s时，所在的直线与相切，
故答案为5或1；3或11；
（2）解：由题意可知当点C与点E重合时，所在的直线与相切时，与有重叠部分，如图所示：
设与相交于点H，连接，
∵（）是的直径，
∴，
∵，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴边上的高为，
∴与重叠部分的面积为；
（3）解：连接，如图所示：
当时，则有，
∵与相切，
∴，
∴，
要使线段为最小值，则需满足为最小即可，根据点到直线垂线段最短可知当时，线段为最小，
∵，
∴，
∴的最小值为．
23．(1)
(2)这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）设大孔抛物线的解析式为，把代入解析式中求解即可；
（2）在中，求出当时y的值即可得到结论；
（3）先求出小孔抛物线的解析式，进而求出当时，x的值即可得到答案．
【详解】（1）解；设大孔抛物线的解析式为，
由题意得，，
把代入中得：，
解得，
∴大孔抛物线的解析式为；
（2）解：这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔，理由如下：
在中，当时，解得，
∵，
∴这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔；
（3）解：设右边小孔抛物线解析式为，
由题意得，，
把代入中得，
解得，
∴右边小孔抛物线解析式为，
在中，当时，
解得或，
∴，
∴小孔的水面宽度为．
甲/乙
A
B
C
D
A
B
C
D