广东省广州市白云区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份广东省广州市白云区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列各图中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
3．方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
4．下列事件中，为随机事件的是（ ）．
A．太阳从东方升起B．任意画三角形，其内角和为
C．通常加热到，水沸腾D．射击队员射击一次，命中靶心
5．在平面直角坐标系中，点P(−1，−2)关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．不透明的袋子中装有2个白球，3个红球和5个黑球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球，恰好是白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，正六边形内接于，的半径是1，则正六边形的周长是（ ）
A．B．6C．D．12
8．如图，用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ）

A．4B．2C．D．
9．反比例函数（，）的图象位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，若，且，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题
11．设，是方程的两个根，则 ．
12．若点在反比例函数的图象上，则 ．
13．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成黑、白两种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针恰好指向白色扇形的概率为(指针指向OA时，当作指向黑色扇形；指针指向OB时，当作指向白色扇形)，则黑色扇形的圆心角 ．
14．如图，在Rt△ABC中，，，将△ABC绕点A顺时针旋转得到，则 ．
15．如图，某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径，地面宽，则高度为 ．
16．如图，抛物线的开口向上，经过点和且与y轴交于负半轴．则下列结论：①，②；③；④；其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
17．解方程：．
18．如图，在△ABC中，边BC与⊙A相切于点D，∠BAD＝∠CAD．求证：AB＝AC．
19．如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，AC＝2，求k的值．
20．如图，四边形的对角线AC，BD互相垂直，AC+BD＝10．当AC，BD的长是多少时，四边形ABCD面积最大？

21．学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根、C．趣挖番薯、D．开垦播种，学校要求每人只能参加一个小组，且必须参加一个小组．
(1)甲选择“趣挖番薯”小组的概率是________；
(2)求甲、乙两人选择同一个小组的概率．
22．如图，是直径，C为上一点．
(1)尺规作图：求作一点，使得与B关于直线对称；
(2)在（1）的条件下，在直线上取一点D，连接，若，求证：是圆O的切线．
23．为改善村容村貌，建设美丽乡村，某村计划将一块长18米、宽10米的矩形场地建成绿化广场．如图，广场内部修建同样宽的三条小路，其中一条路与广场的长边平行，另两条路与广场的短边平行，其余区域进行绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，小路的宽应为多少米？
24．已知抛物线经过点和．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A的直线与抛物线交于点P．
①当时，若的最小值为5，求k的值；
②抛物线的顶点为C，对称轴与x轴交于点D，当点P（不与点B重合）在抛物线的对称轴右侧运动时，直线和直线分别与对称轴交于点M，N，试探究的面积与的面积之间满足的等量关系．
25．如图，点E为正方形边上的一点，平分正方形的外角，将线段绕点顺时针旋，点的对应点为点．
(1)当点落在边上且时，求的度数；
(2)当点落在射线上时，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接并与交于点，连接，探究，与之间的数量关系，并说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故A错误；
B．是中心对称图形，故B正确；
C．不是中心对称图形，故C错误；
D．不是中心对称图形，故D错误．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，根据一元二次方程的定义，判断即可．
【详解】解：A、，是一元二次方程，故A符合题意；
B、，是一元一次方程，故B不符合题意；
C、，是一元一次方程，故C不符合题意；
D、，不是一元二次方程，故D不符合题意；
故选：A．
3．A
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的判别式判断根的情况，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
求出该方程根的判别式的值，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：
，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查事件的分类．事件分为确定事件和随机事件，确定事件分为必然事件和不可能事件，根据随机事件的定义，逐项分析判断即可求解．
【详解】A、太阳从东方升起，是必然事件，故该选项不正确，不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和为，是不可能事件，故该选项不正确，不符合题意；
C、通常加热到时，水会沸腾，是必然事件，故该选项不正确，不符合题意；
D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
5．C
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），然后直接作答即可．
【详解】解：根据题意知：点P(−1，−2)关于原点对称的点的坐标为（1，2）．
故选：C．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标，是需要熟记的基本问题，关键是掌握关于原点对称的两个点的横纵坐标分别互为相反数．
6．C
【分析】本题考查了求简单事件的概率，属于基础题型，熟练掌握概率公式是解题关键．用白球的个数除以球的总个数即得答案．
【详解】解：随机摸出一个小球是黄球的概率．
故选：C．
7．B
【分析】连接．证明是等边三角形，求得，据此求解即可．
【详解】解：如图，连接．
由题意，，
∴是等边三角形，
∴，
∴正六边形的周长是．
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
8．B
【分析】求出扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径．
【详解】解：扇形的弧长，
圆锥的底面半径为．
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
9．A
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数中k的大小决定图像的位置判断即可．
【详解】当，时，反比例函数的图像位于第一象限．
故选：A．
10．D
【分析】本题主要考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，连接，由， 证明四边形是平行四边形，由可证明四边形是菱形，得再证明是等边三角形即可得出结论．
【详解】连接，如图，
∵， ，
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形，
∴，
∵
∴，即是等边三角形，
∴，
∴,
故选：D
11．
【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系，若一元二次方程有两个实数根，，则，．熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
12．
【分析】此题考查反比例函数图象上的点，代入解析式计算即可得到点的坐标值，熟练掌握反比例函数的知识是解题的关键．．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，
将代入，
得，
故答案为：．
13．/45度
【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系以及随机事件的概率，根据针恰好指向白色扇形的概率得到黑、白两种颜色的扇形的面积比为，计算即可．
【详解】解：指针恰好指向白色扇形的穊率为，
黑、白两种颜色的扇形的面积比为，
，
故答案为：
14．
【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握图形旋转不变性的性质是解题的关键．
先根据直角三角形的性质求出的长，再由旋转的性质得出，，根据勾股定理即可得出结论。
【详解】在Rt△ABC中，，，
，
将△ABC绕点A顺时针旋转得到，
，，
故答案为：
15．
【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，在中，，半径，
∴，，，
∴，
故答案是：．
16．
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力是关键．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】抛物线过，
a＋b＋c＝0，故①正确；
观察图象得：抛物线开口向上，对称轴，且与y轴交于负半轴，
，，
，故②错误，
观察图象得：，，
，
，故③正确，
抛物线经过点和，
，，故④正确．
故答案为：．
17．，
【分析】先移项，再利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，正确掌握直接开平方法解方程的步骤是解题的关键．
18．见解析．
【分析】根据切线的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵BC与⊙A相切于点D，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴AB＝AC．
【点睛】本题考查的知识点是切线的性质和全等三角形的判定和性质定理，易于理解掌握．
19．k＝2
【分析】根据题意A的纵坐标为2，把y＝2代入y＝2x，求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值．
【详解】解：∵AC⊥x轴，AC＝2，
∴A的纵坐标为2，
∵正比例函数y＝2x的图象经过点A，
∴2x＝2，解得x＝1，
∴A（1，2），
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴k＝1×2＝2．
【点睛】本题考查的知识点是正比例函数以及反比例函数图象上点的坐标，直接待如即可求出答案，比较基础．
20．
【分析】根据已知设四边形ABCD面积为S，AC为x,则BD=10-x,进而求出，再求出最值即可．
【详解】解：设AC=x,四边形ABCD面积为S，则BD=10-x,
，
∴抛物线开口向下，
当时，，
即当AC=5，BD=5时，四边形ABCD面积最大，最大值为．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知正确得出二次函数关系是解题关键．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图求概率即可求解．
【详解】（1）解：共有4个小组，甲选择“趣挖番薯”小组的概率是；
故答案为：．
（2）解：画树状图如图，

共有16种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一个小组，有4种，
∴甲、乙两人选择同一个小组的概率．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—复杂作图、平行线的性质、圆周角定理和切线的判定，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
（1）连接并延长，以C点为圆心， 的长度为半径画弧，与的延长线交点即为点；
（2）通过角度关系，证明，再根据切线的判定得到结论即可．
【详解】（1）解：如图所示．
连接并延长，以C点为圆心， 的长度为半径画弧，与的延长线交点即为点．
（2）解：由（1）可知：，
，
，
，
，
，
是的半径，
∴是圆O的切线．
23．小路的宽为1米
【分析】设广场中间小路的宽为x米，根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积为广场总面积的80%，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设小路的宽为x米，由题意得：
，
解得，（不合题意，舍去)，
答：小路的宽为1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．(1)．
(2)①或．②或．
【分析】（1）将点和代入抛物线中，即可解题．
（2）①根据（1）中抛物线解析式，表达出得解析式，利用二次函数增减性，结合最小值为5，分类讨论求解即可．
②根据抛物线解析式得出对称轴和点D的坐标，在利用直线与抛物线交点为P求出点P，设直线的解析式为，求出解析式，再利用根据直线和直线分别与对称轴交于点M，N，表达出点M，N的坐标，然后分两种情况利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：抛物线经过点和．
有，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：①由题知，，
∴对称轴是直线．
，
∴开口向下．
当即时，
当时，若的最小值为5，
当时，的最小值为5，即，
解得，
当时，的最小值为5，即，
解得．
当即时，
当时，若的最小值为5，
∴当时，的最小值为5，即，
解得（不符合题意，舍去）．
当即时，同理可得不符合题意．
综上，或．
②抛物线的解析式为，
整理为顶点式有，对称轴为直线，
抛物线的顶点为C，对称轴与x轴交于点D，
，，
直线的解析式为，且直线与对称轴交于点M，
，即，
过点A的直线与抛物线交于点P．
有，整理得，
解得，，
将代入中，有，
，
设直线的解析式为，
有，
解得，
直线得解析式为，
直线与对称轴交于点N，
，即．
当点P在第一象限时，
，
，
．
当点P在第四象限时，
，
．
综上可知，或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，分类讨论是解答本题的关键．
25．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据旋转性质可知，由因为可得，因此可判定为等边三角形，即可求得．
（2）在上取作，作垂直于点I，由,证得，再求证，所以可求得，又因为，，即可证明．
（3）过点作于点， 于点，根据（2）可知，可得和为腰直角三角形，所以，在中，有，于是可得到关系式．
【详解】（1）解：如图所示，
∵线段绕点顺时针旋当点落在边上，
∴，
∵四边形边正方形，
∴，，
，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故为等边三角形，
∴，
（2）证明：如图，在上取作，作垂直于点I,
∵线段绕点顺时针旋当点落在边上
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
设，，，
在和中,
,，
∴，
即，
整理得：，
∵，
∴解得，
∴，
∵平分， ，
∴，
∴，
∵,，
∴
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故．
（3）解：理由如下：
如图，过点作于点， 于点，
由（2）可知，，
∴，
∴和为腰直角三角形，
即，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，
∴，
故．
【点睛】本题考查正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形，矩形的性质等，利用方程的思想，掌握几何问题辅助线的构造是解题的关键．