新教材2024高考数学二轮专题复习分册二探究二方法四数形结合法

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4.(1)[2021·新高考Ⅱ卷](多选)如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足MN⊥OP的是( )

A B

C D
(2)[2023·全国甲卷]向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cs〈a－c，b－c〉＝( )
A．－B．－
C．D．
对接训练
7.[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)＝csωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．
8．[2022·新高考Ⅰ卷]已知椭圆C：＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________．
方法四 数形结合法
[例4] (1)解析：设正方体的棱长为2，
如图①所示，连接AC，则MN∥AC，
故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角，
在直角三角形OPC中，OC＝，CP＝1，故tan∠POC＝＝，
故MN⊥OP不成立，故A错误．
如图②所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，
由正方体SBCMNADT可得SN⊥平面ANTD，而OQ⊂平面ANDT，
故SN⊥OQ，而SN＝N，故OQ⊥平面SNTM，
又MN⊂平面SNTM，OQ⊥MN，而OQ＝Q，
所以MN⊥平面OPQ，而PO⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确．
如图③，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，
故OP⊥MN，故C正确．
如图④，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，
则AC∥MN，
因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，
所以∠QPO或其补角为异面直线PO，MN所成的角，
因为正方体的棱长为2，故PQ＝AC＝，OQ＝＝＝，
PO＝＝＝，QO2