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    新教材2024高考数学二轮专题复习分册二探究一七解析几何

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    新教材2024高考数学二轮专题复习分册二探究一七解析几何

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    这是一份新教材2024高考数学二轮专题复习分册二探究一七解析几何,共5页。试卷主要包含了直线方程的五种形式,双曲线的标准方程及几何性质,抛物线的标准方程及几何性质,双曲线的方程与渐近线方程的关系等内容,欢迎下载使用。
    1.直线方程的五种形式
    (1)点斜式:y-y1=k(x-x1)(直线过点P1(x1,y1),且斜率为k,不包括y轴和平行于y轴的直线).
    (2)斜截式:y=kx+b(b为直线l在y轴上的截距,且斜率为k,不包括y轴和平行于y轴的直线).
    (3)两点式:=(直线过点P1(x1,y1),P2(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线).
    (4)截距式:=1(a,b分别为直线的横、纵截距,且a≠0,b≠0,不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线).
    (5)一般式:Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0).
    2.直线的两种位置关系
    当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时:
    (1)两直线平行l1∥l2⇔k1=k2.
    (2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2=-1.
    3.三种距离公式
    (1)A(x1,y1),B(x2,y2)两点间的距离
    |AB|=.
    (2)点到直线的距离d=(其中点P(x0,y0),直线方程为Ax+By+C=0).
    (3)两平行线间的距离d=(其中两平行线方程分别为l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0且C1≠C2).
    4.圆的方程的两种形式
    (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.
    (2)圆的一般方程:
    x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
    5.直线与圆、圆与圆的位置关系
    (1)直线与圆的位置关系:相交、相切、相离,代数判断法与几何判断法.
    (2)圆与圆的位置关系:相交、内切、外切、外离、内含,代数判断法与几何判断法.
    6.椭圆的标准方程及几何性质
    7.双曲线的标准方程及几何性质
    8.抛物线的标准方程及几何性质
    9.双曲线的方程与渐近线方程的关系
    (1)若双曲线的方程为=1(a>0,b>0),则渐近线的方程为=0,即y=±x.
    (2)若渐近线的方程为y=±x(a>0,b>0),即±=0,则双曲线的方程可设为=λ(λ≠0).
    (3)若所求双曲线与双曲线=1(a>0,b>0)有公共渐近线,其方程可设为=λ(λ>0,焦点在x轴上;λ0)的焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),α为直线AB的倾斜角,则
    (1)x1x2=,y1y2=-p2.
    (2)弦长|AB|=x1+x2+p=.
    (3)=.
    (4)以弦AB为直径的圆与准线相切.
    易错剖析
    易错点1 遗漏方程表示圆的充要条件
    【突破点】 二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0,在此条件下,再根据其他条件求解.
    易错点2 解决截距问题忽略“0”的情形
    【突破点】 解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时,需注意两点:
    (1)截距不是距离,直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
    (2)明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线.因此解题时应该从截距是否为0进行分类讨论.
    易错点3 忽视斜率不存在的情况
    【突破点】 (1)在解决两直线平行的相关问题时,若利用l1∥l2⇔k1=k2求解,忽略k1,k2不存在的情况,就会导致漏解.
    (2)对于解决两直线垂直的相关问题时,若利用l1⊥l2⇔k1·k2=-1求解,要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在.
    易错点4 忽略直线与圆锥曲线相交问题中的判别式
    【突破点】 凡是涉及直线与圆锥曲线位置关系的问题,一定不能忘记对判别式的讨论.
    易错点5 忽视双曲线定义中的条件
    【突破点】 双曲线的定义中,有两点是缺一不可的:其一,绝对值;其二,2a0,b>0),c为双曲线C的半焦距,
    由题意可得,解得.
    所以双曲线C的方程为=1.
    (2)解析:方法一 设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=my-4,
    则x1=my1-4,x2=my2-4.
    联立得,得(4m2-1)y2-32my+48=0.
    因为直线MN与双曲线C的左支交于M,N两点,所以4m2-1≠0,且Δ>0.
    由根与系数的关系得,所以y1+y2=y1y2.
    因为A1,A2分别为双曲线C的左、右顶点,
    所以A1(-2,0),A2(2,0).
    直线MA1的方程为=,直线NA2的方程为=,
    所以=,得===.
    因为=


    =-3,
    所以=-3,解得x=-1,
    所以点P在定直线x=-1上.
    解析:方法二 由题意得A1(-2,0),A2(2,0).
    设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=my-4,
    则=1,即=16.
    如图,连接MA2,
    =·===4 ①.
    由=1,得4x2-y2=-y2=16,
    4(x-2)2+16(x-2)+16-y2=16,4(x-2)2+16(x-2)-y2=0.
    由x=my-4,得x-2=my-6,my-(x-2)=6,[my-(x-2)]=1.
    4(x-2)2+16(x-2)·[my-(x-2)]-y2=0,4(x-2)2+(x-2)my-(x-2)2-y2=0,
    两边同时除以(x-2)2,得·=0,
    即-·=0.
    ==,
    由根与系数的关系得=- ②.
    由①②可得=.
    :y=(x+2)=:y=(x-2).
    由,解得x=-1.
    所以点P在定直线x=-1上.
    标准方程
    =1(a>b>0)
    =1(a>b>0)
    图形
    几何性质
    范围
    -a≤x≤a,-b≤y≤b
    -b≤x≤b,-a≤y≤a
    对称性
    对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点
    焦点
    F1(-c,0),F2(c,0)
    F1(0,-c),F2(0,c)
    顶点
    A1(-a,0),A2(a,0);B1(0,-b),B2(0,b)
    A1(0,-a),A2(0,a);B1(-b,0),B2(b,0)

    线段A1A2,B1B2分别是椭圆的长轴和短轴;长轴长为2a,短轴长为2b
    焦距
    |F1F2|=2c
    离心率
    焦距与长轴长的比值:e==∈(0,1)
    a,b,c的关系
    c2=a2-b2
    标准方程
    =1(a>0,b>0)
    =1(a>0,b>0)
    图形
    几何性质
    范围
    |x|≥a,y∈R
    |y|≥a,x∈R
    对称性
    对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点
    焦点
    F1(-c,0),F2(c,0)
    F1(0,-c),F2(0,c)
    顶点
    A1(-a,0),A2(a,0)
    A1(0,-a),A2(0,a)

    线段A1A2,B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴;实轴长为2a,虚轴长为2b
    焦距
    |F1F2|=2c
    离心率
    焦距与实轴长的比值:e==∈(1,+∞)
    渐近线
    y=±x
    y=±x
    a,b,c的关系
    a2=c2-b2
    标准方程
    y2=2px(p>0)
    y2=-2px(p>0)
    x2=2py(p>0)
    x2=-2py(p>0)
    图形
    几何性质
    对称轴
    x轴
    y轴
    顶点
    O(0,0)
    焦点
    F
    F
    F
    F
    准线方程
    x=-
    x=
    y=-
    y=
    范围
    x≥0,y∈R
    x≤0,y∈R
    y≥0,x∈R
    y≤0,x∈R
    离心率
    e=1

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