新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题六解析几何第三讲圆锥曲线__大题备考微专题1角的正切值与直线斜率

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(1)求E的方程；
(2)已知P(2，0)，是否存在过点G(－1，0)的直线l交E于A，B两点，使得直线PA，PB的斜率之和等于－1？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．
1.[2022·新高考Ⅰ卷]已知点A(2，1)在双曲线C：＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．
技法领悟
解决此类问题的关键是围绕直线斜率式子的整理和求解．
[巩固训练1] [2023·广东广州三模]直线l经过点T(t，0)(t>0)且与抛物线C：y2＝2px (p>0)交于A，B两点．
(1)若A(1，2)，求抛物线C的方程；
(2)若直线l与坐标轴不垂直，M(m，0)，证明：∠TMA＝∠TMB的充要条件是m＋t＝0.
微专题1 角的正切值与直线斜率
保分题
(1)解析：设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
由点M(1，)，N(－)在E上，得，解得m＝，n＝，
所以E的方程为＝1.
(2)解析：存在，理由如下．
显然直线l不垂直于x轴，设直线l的方程为x＝ky－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x得：(3k2＋4)y2－6ky－9＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，得x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝，
x1x2＝(ky1－1)(ky2－1)＝k2y1y2－k(y1＋y2)＋1＝＋1＝，
因此＝＝
＝＝＝－k＝－1，解得k＝1，
所以存在符合要求的直线l，其方程为x－y＋1＝0.
提分题
[例1] (1)解析：∵点A(2，1)在双曲线C：＝1(a>1)上，∴＝1，解得a2＝2.
∴双曲线C的方程为－y2＝1.
显然直线l的斜率存在，可设其方程为y＝kx＋m.
联立得方程组
消去y并整理，得(1－2k2)x2－4kmx－2m2－2＝0.
Δ＝16k2m2＋4(1－2k2)(2m2＋2)＝8m2＋8－16k2>0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
由kAP＋kAQ＝0，得＝0，
即(x2－2)(kx1＋m－1)＋(x1－2)(kx2＋m－1)＝0.
整理，得2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，
即2k·＋(m－1－2k)·－4(m－1)＝0，
即(k＋1)(m＋2k－1)＝0.
∵直线l不过点A，∴k＝－1.
(2)解析：设∠PAQ＝2α，0