新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题六解析几何第三讲圆锥曲线__大题备考微专题4最值问题

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(1)求E的方程；
(2)若过B作x轴的垂线，垂足为H，OH的中点为N(O为坐标原点)，连接AN并延长交E于点P，直线PB的斜率为k2，求|k1－k2|的最小值．
[巩固训练4] [2023·全国甲卷]已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点且|AB|＝4.
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值．
微专题4 最值问题
提分题
[例4] (1)解析：设E的半焦距为c，则＝，所以＝，所以a＝b ①，
不妨设l：y＝x，与＝1联立得|x|＝.
由题意得|x|＝＝ ②，
①②联立并解得b2＝2，a2＝4，
故E的方程为＝1.
(2)解析：设A(x1，y1)，P(x2，y2)，则B(－x1，－y1)，H(－x1，0)，N(－，0)，
所以直线AP的斜率k＝＝＝k1，
直线AP的方程为y＝k(x＋)，代入＝1，得
－4＝0，
所以x1＋x2＝－，
y1＋y2＝k(x1＋)＋k(x2＋)＝k(x1＋x2＋x1)＝，
所以k2＝＝＝－＝－＝－，
所以|k1－k2|＝|k1＋|＝|k1|＋≥2＝，
当且仅当|k1|＝，即k1＝±时等号成立，
所以当k1＝±时，|k1－k2|取得最小值，且最小值为.
[巩固训练4] (1)解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，
由Δ1＝16p2－8p>0，得p>.
由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，
所以|AB|＝·＝·＝4，解得p＝2或p＝－(舍去)，
故p＝2.
(2)解析：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0)．
因为·＝0，所以∠MFN＝90°，
则S△MFN＝|MF||NF|＝(x3＋1)(x4＋1)＝(x3x4＋x3＋x4＋1) (*)．
当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，
因为∠MFN＝90°，
所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1.
不妨设直线MF的斜率为1，则MF：y＝x－1，
由得x2－6x＋1＝0，
得或
代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－2时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－2)．
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m.
由得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0，Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0，
则
y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝.
又·＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0，
所以＋1＋＝0，化简得m2＋k2＋6km＝4.
所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1)＝＝＝＋2＋1.
令t＝，则S△MFN＝t2＋2t＋1，
因为m2＋k2＋6km＝4，
所以＋6＋1＝>0，
即t2＋6t＋1>0，得t>－3＋2或t12－8＝4(3－2)．
故△MFN面积的最小值为4(3－2)．