新教材2023版高中数学第一章直线与圆1直线与直线的方程1.3直线的方程第二课时直线方程的两点式学案北师大版选择性必修第一册

第2课时　直线方程的两点式[教材要点]要点一　直线方程的两点式如图，已知直线l上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，则方程____________称为直线方程的两点式．状元随笔　直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但如果将方程变形为：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，它是两点式的变形，可以表示任何直线，包括与坐标轴垂直的直线．要点二　直线方程的截距式如图，直线l经过点A(a，0)，B(0，b)(其中a≠0，b≠0)，则方程________称为直线方程的截距式．状元随笔　①由截距式方程可以直接得到直线在x轴与y轴上的截距．②由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x轴、y轴上的截距都存在且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x轴垂直的直线、与y轴垂直的直线．③过原点的直线可以表示为y＝kx；与x轴垂直的直线可以表示为x＝x0；与y轴垂直的直线可以表示为y＝y0.[基础自测]1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)给定两点A(x1，y1)，B(x2，y2)就可以用两点式写出直线方程．(　　)(2)方程y-y1y2-y1＝x-x1x2-x1和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)的适用范围相同．(　　)(3)截距相等的直线都可以用方程xa+ya＝1表示．(　　)(4)不经过原点的直线都可以用xa+yb＝1表示．(　　)2．过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(　　)A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝03．如图，直线l的截距式方程是xa+yb＝1，则(　　)A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜04．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为________．题型一　直线方程的两点式及其应用例1　已知△ABC三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在的直线方程．方法归纳求直线的两点式方程的策略以及注意点当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．跟踪训练1　(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2，7)，则直线l的方程为________．(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．题型二　直线方程的截距式及其应用例2　求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．方法归纳截距式方程应用的注意事项1．如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．2．选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．3．要注意截距式直线方程的逆向应用．跟踪训练2　求过点A(5，2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．易错辨析　忽视截距为零引发的错误例3　求过点M(3，2)，且在x、y轴上的截距相等的直线方程．解析：当在x、y轴上的截距均为零时，所求直线的方程为：y＝23x.当在x、y轴上的截距均不为零时，可设直线的方程为xa+ya＝1，把点M(3，2)代入得：a＝5，故所求的直线方程为x＋y－5＝0.综上知所求直线的方程为y＝23x或x＋y－5＝0.【易错警示】[课堂十分钟]1．已知三角形三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在直线方程是(　　)A．x－13y＋5＝0 B．x－13y－5＝0C．x＋13y＋5＝0 D．x＋13y＝02．过两点(－1，1)和(1，5)的直线在y轴上的截距为(　　)A．－32B．3C．32D．－33．经过点P(－1，2)，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有(　　)A．0条 B．1条C．2条 D．3条4．[多选题]下列命题中错误的是(　　)A．经过定点P0(x0，y0)直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)B．不经过原点的直线都可以用方程xa+yb＝1表示C．过任意不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)D．经过A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示5．已知直线l过点(2，3)，且在x轴上的截距是y轴上截距的两倍，则直线l的方程为________．第2课时　直线方程的两点式新知初探·课前预习要点一y-y1y2-y1＝x-x1x2-x1(x1≠x2，y1≠y2)要点二xa+yb＝1[基础自测]1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．解析：由直线的两点式方程，得y-23-2＝x-34-3，化简：得x－y－1＝0.故选D.答案：D3．解析：M(a，0)，N(0，b)，由题图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，所以a＞0，b＜0.故选B.答案：B4．解析：直线方程为y-91-9＝x-3-1-3，化为截距式为x-32+y3＝1，则在x轴上的截距为－32.答案：－32题型探究·课堂解透例1　解析：∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B两点横坐标相同，∴直线AB与x轴垂直，其方程为x＝2，∵A(2，－1)，C(4，1)，由直线方程的两点式可得直线AC的方程为y-1-1-1＝x-42-4，即x－y－3＝0同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为y-21-2＝x-24-2，即x＋2y－6＝0故三边AB、AC、BC所在的直线方程分别为：x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0.跟踪训练1　解析：(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2.(2)由直线方程的两点式得y--14--1＝x-2-3-2，即y+15＝x-2-5.∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，∵点P(3，m)在直线AB上，则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.答案：(1)x＝2　(2)－2例2　解析：方法一　设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.①当a≠0，b≠0时，设l的方程为xa+yb＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a+-3b＝1，若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x＋4y＝0.综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.方法二　设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝4k+3k.又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，∴|－4k－3|＝|4k+3k|，解得k＝1或k＝－1或k＝－34.∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.跟踪训练2　解析：由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，直线l的方程为y＝25x；当直线l在坐标轴上的截距不为零时，设l的方程为x2a+ya＝1，将点(5，2)代入方程得52a+2a＝1，解得a＝92，所以直线l的方程为x＋2y－9＝0.综上知，所求直线l的方程为y＝25x，或x＋2y－9＝0.[课堂十分钟]1．解析：∵B(3，－3)，C(0，2)，∴BC中点的坐标为0+32，2-32，即32，-12.则BC边上的中线应过A(－5，0)，32，-12两点，由两点式得：y0+12＝x+5-5-32，整理，得x＋13y＋5＝0.故选C.答案：C2．解析：∵直线过点(－1，1)和(1，5)，∴该直线的斜率为1-5-1-1＝2，∴该直线的方程为y－5＝2(x－1)，即y＝2x＋3，∴该直线在y轴上的截距为3.答案：B3．解析：当直线在两坐标轴上的截距都为0时，直线方程是y＝－2x.当直线在两坐标轴上的截距相等且都不为0时，设方程为xa+ya＝1.因为直线经过点P(－1，2)，所以-1a+2a＝1，解得a＝1，故方程是x＋y－1＝0.当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且都不为0时，设方程为xm+y-m＝1.因为直线经过点P(－1，2)，所以-1m+2-m＝1，解得m＝－3，故方程是x－y＋3＝0.综上，经过点P(－1，2)，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条．答案：D4．解析：对A，当经过定点P0(x0，y0)直线垂直于x轴时不成立，故A错误．对B，直线垂直于x轴时不可以用方程xa+yb＝1表示，故B错误．对C，当直线P1P2斜率存在时，方程为y－y1＝y2-y1x2-x1(x－x1)成立．当直线P1P2斜率不存在时x1＝x2，方程为x＝x2成立，故C正确．对D，直线垂直于x轴时不可以用方程y＝kx＋b表示，D错误．故选ABD.答案：ABD5．解析：若l在坐标轴上的截距均为0，即l过原点，满足题意，此时l方程为y＝32x，即3x－2y＝0.当l在坐标轴上的截距不为0时，设其在y轴截距为b，则方程为x2b+yb＝1，把(2，3)代入，解得b＝4，∴l方程为x＋2y－8＝0.综上，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋2y－8＝0.答案：3x－2y＝0或x＋2y－8＝0易错原因纠错心得忽视了截距为零的情况，直接由xa+ya＝1得直线方程产生了漏解．“截距相等”包含两层意思，一是截距不为零时相等，二是截距为零时相等，而后者常被忽视，造成漏解，因此对于此类题目，也要分类讨论．