高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 点在空间直角坐标系中的坐标学案设计

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要点一 空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系建立的流程图：
(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：
①伸出________手，让四指与________垂直；
②四指先指向________正方向；
③让四指沿________方向旋转90°指向y轴正方向；
④________的指向即为z轴正方向．
(3)有关名称：如图所示：
①________叫作原点；
②________统称为坐标轴；
③由________确定的平面叫作坐标平面，
由________确定的平面记作xOy平面，
由________确定的平面记作yOz平面，
由________确定的平面记作xOz平面．
要点二 空间直角坐标系中点的坐标
(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个________来刻画．
(2)空间任意一点P的坐标记为________，第一个是________坐标，第二个是________坐标，第三个是________坐标．
(3)空间直角坐标系中，点________三元有序数组．
(4)对于空间中点P坐标的确定方法是：过点P分别向坐标轴作________，构造一个以O，P为顶点的________．如果长方体在三条坐标轴上的顶点P1，P2，P3的坐标分别为(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间直角坐标系中，y轴上的点的坐标满足z＝0，x＝0.( )
(2)空间直角坐标系中的任意一点的坐标是唯一的．( )
(3)空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式．( )
(4)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．( )
2．点(2，0，3)在空间直角坐标系中的( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．第一象限内
3．已知点A(－1，2，7)，则点A关于x轴对称的点的坐标为( )
A．(－1，－2，－7) B．(－1，－2，7)
C．(1，－2，－7) D．(1，2，－7)
4．在空间直角坐标系中，自点P(－4，－2，3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为________．
题型一 求空间点的坐标
例1
如图，棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．
方法归纳
(1)空间中点的位置和点的坐标是相对的，建立空间直角坐标系，要力争尽可能简捷地将点的坐标表示出来．因此，要确定各点到xDy面、yDz面、xDz面的距离，同时中点坐标公式在空间直角坐标系中仍然适用．
(2)设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则P1P2中点P(x，y，z)坐标满足x＝，y＝，z＝.
跟踪训练1 (1)点M所在的位置是( )
A．x轴上 B．xOz平面上
C．xOy平面内 D．yOz平面内
(2)正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为1，且|BP|＝|BD′|，建立如图所示的空间直角坐标系，则P点的坐标为( )
A．
B．
C．
D．
题型二 已知点的坐标确定点的位置
例2 在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6，4)．
方法归纳
由点的坐标确定点位置的方法
(1)先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置；
(2)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．
跟踪训练2 在空间直角坐标系中，作出点P(5，4，6)．
题型三 求空间对称点的坐标
例3 求点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．
方法归纳
点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点：
(1)P(x，y，z)P1(－x，－y，－z)；
(2)P(x，y，z)P2(x，－y，－z)；
P(x，y，z)P3(－x，y，－z)；
P(x，y，z)P4(－x，－y，z)．
记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”．
(3)P(x，y，z)P5(x，y，－z)；
P(x，y，z)P6(－x，y，z)；
P(x，y，z)P7(x，－y，z)．
跟踪训练3 写出点(－2，1，4)关于y轴，z轴，yOz面，xOz面的对称点的坐标．
易错辨析 建错空间直角坐标系
例4 在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．
解析：分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0，，0)，B(－，0，0)，C(0，0)，A1(0，，2)，B1(－，0，2)，C1(，0，2)．
【易错警示】
[课堂十分钟]
1．点(1，0，2)位于( )
A．y轴上 B．x轴上
C．xOz平面内 D．yOz平面内
2．点P(－1，2，3)关于xOy平面对称的点的坐标是( )
A．(1，2，3) B．(－1，－2，3)
C．(－1，2，－3) D．(1，－2，－3)
3．在空间直角坐标系中，P(2，3，4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
4．在空间直角坐标系中，已知点A(－1，2，－3)，则点A在yOz平面内射影的点的坐标是________．
5．如图，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上且C1E＝3EC.试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标．
1．1 点在空间直角坐标系中的坐标
新知初探·课前预习
要点一
(1)原点O 垂直 (2)右 大拇指 x轴 握拳 大拇指 (3)O x，y，z 坐标轴 x，y轴 y，z轴 x，z轴
要点二
(1)三元有序数组 (2)(x，y，z) x y z (3)一一对应 (4)垂面 长方体
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．解析：点(2，0，3)的y轴坐标为0，所以该点在xOz平面上．故选C.
答案：C
3．解析：点(－1，2，7)关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－7)．故选A.
答案：A
4．解析：∵点P(－4，－2，3)，
∴自点P引x轴的垂线，垂足坐标为(－4，0，0)．
答案：(－4，0，0)
题型探究·课堂解透
例1 解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，E点在平面xDy中，且|EA|＝.
∴E点的坐标为.
∵B点和B1点的坐标分别为(1，1，0)和(1，1，1)，故F点坐标为.
同理可得G点坐标为.
跟踪训练1 解析：(1)∵M点的坐标为，x＝0，
∴点M在平面yOz内，故选D.
(2)如图所示，过P分别作平面xOy和z轴的垂线，垂足分别为E，H，过E分别作 x轴和y轴的垂线，垂足分别为F，G，由于|BP|＝|BD′|，所以|DH|＝|DD′|＝，|DF|＝|DA|＝，|DG|＝|DG|＝，所以P点的坐标为，故选D.
答案：(1)D (2)D
例2 解析：方法一 先确定点M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，
则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M的位置了(如图所示)．
方法二 以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2，6，4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．
跟踪训练2
解析：第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.
例3 解析：如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使|AM|＝|CM|，则A与C关
于坐标平面xOy对称点C(1，2，1)．过A作AN⊥x轴于N，并延长到点B，使|AN|＝|NB|，则A与B关于x轴对称且B(1，－2，1)，∴A(1，2，－1)关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1，2，1)；A(1，2，－1)关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，1)．
跟踪训练3 解析：(1)点P关于y轴的对称点坐标为P1(2，1，－4)，
(2)点P关于z轴的对称点坐标为P2(2，－1，4)，
(3)点P关于面yOz的对称点为P3(2，1，4)，
(4)点P关于面xOz的对称点为P4(－2，－1，4)．
[课堂十分钟]
1．解析：点(1，0，2)的纵坐标为0.所以该点在xOz平面内，故选C.
答案：C
2．答案：C
3．解析：因为点P与点Q的坐标均为相反数，所以点P与点Q关于坐标原点对称，故选C.
答案：C
4．解析：由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知，点A在yOz平面内的射影的点的坐标是(0，2，－3)．
答案：(0，2，－3)
5．解析：以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．依题意知，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4)．易错原因
纠错心得
建系时，误认为与垂直，从而以A为原点的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系导致错误．
在建系时应注意，若图中没有直接建系的条件，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的建系条件．