北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 空间向量的运算第二课时导学案

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 空间向量的运算第二课时导学案，共10页。

要点一 两个向量的夹角
1．夹角的定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作________．
2．夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π].特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝________时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量________，记作________．
状元随笔 对空间两个向量夹角的理解，应注意以下几点：
(1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.故〈〉＝0或π⇔∥为非零向量)．
(2)由于零向量的方向是任意的，因此任意一个向量与零向量的夹角是不确定的，故零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量都是共线的，即0∥.
(3)对空间任意两个向量，有：
①〈〉＝〈〉＝〈－，－〉＝〈－，－〉；
②〈，－〉＝〈－〉＝π－〈〉；
③〈〉＝〈〉＝π－〈〉．
要点二 两个向量的数量积
1．定义：已知两个空间向量a，b，把|a||b|cs 〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝________________．
状元随笔 对于空间向量的数量积，我们可以从以下几个方面理解．
(1)向量的数量积记为·，而不能表示为或.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定．当θ为锐角时，·＞0，但当·＞0时，θ不一定是锐角，因为θ也可能为0；当θ为钝角时，·＜0，但当·＜0时，θ不一定是钝角，因为θ也可能为π.
2．与数量积有关结论：
(1)cs 〈a，b〉＝______________________；
(2)|a|＝________；
(3)a⊥b⇔____________．
3．数量积的运算律：
状元随笔 (1)对于任意一个非零向量，我们把叫做向量的单位向量，记作与同方向．
(2)当≠0时，由·＝0不能推出一定是零向量，这是因为对于任意一个与垂直的非零向量，都有·＝0.
要点三 投影向量与投影数量
1．投影向量：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为B1，称向量为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度为：________．
2．投影数量：若用a0表示与向量a(a≠0)，同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为＝|b|cs 〈a，b〉a0.因此，称________为投影向量的数量，简称为向量b在向量a方向上的投影数量，记为|b|cs 〈a，b〉＝＝a0·b.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．( )
(2)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.( )
(3)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．( )
(4)在△ABC中，〈〉＝∠B.( )
2．[多选题]设a，b为空间中的两个非零向量，则下列各式正确的是( )
A．a2＝|a|2B．＝
C.(a·b)2＝a2·b2 D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．
4.
如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，已知|AB|＝5，|AD|＝4，|AA′|＝3，则向量在方向上的投影数量为________，向量在方向的投影数量为________．
题型一 空间向量数量积的运算
例1 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：
①·；
②·；
③·；
④·.
方法归纳
空间向量数量积的计算问题的解题思路
1．在几何体中求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；
(3)代入a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉求解．
2．长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直关系或特殊角等．
跟踪训练1 已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则A1B·B1C＝________．
题型二 求夹角和模
例2
(1)如图，已知空间四边形OABC的各边及对角线AC，OB的长都相等．E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．
(2)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量两两之间的夹角均为60°，且||＝1，||＝|＝3，求|的值．
方法归纳
1．求两个向量的夹角有两种方法：
(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；(2)先求a·b，再利用公式cs 〈a，b〉＝求cs 〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．
2．我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：
(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；
(2)异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；
(3)利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；
(4)异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小．
3．利用向量的数量积求线段的长(两点间的距离)，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
跟踪训练2 (1)如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则异面直线OA与BC的夹角的余弦值为________．
(2)如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°的角，则B、D间的距离为________．
题型三 判断或证明线线垂直
例3 已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
方法归纳
用向量法证明垂直关系的一般步骤
1．把几何问题转化为向量问题．
2．用已知夹角、模的向量把未知向量表示出来．
3．结合数量积公式及运算律证明向量的数量积为0.
4．将向量问题转化为几何问题，得到几何结论．
跟踪训练3
已知：如图，空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD.求证：AD⊥BC.
易错辨析 混淆向量的夹角与空间角
例4
如图所示，在平面角为120° 的二面角α－AB－β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长．
解析：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴·＝0，·＝0.
∵二面角α－AB－β的平面角为120°，∴〈〉＝180°－120°＝60°.
∴2＝()2＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cs 60°＝144，
∴CD＝12.
【易错警示】
[课堂十分钟]
1．[多选题]设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|＝
C．a2b＝b2a
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
2．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为( )
A．60° B．30°
C．135° D．45°
3．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
4．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________．
5．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角．
第2课时 空间向量的数量积
新知初探·课前预习
要点一
1．〈a，b〉
2．π 垂直 a⊥b
要点二
1．|a||b|cs 〈a，b〉
2．(1) (a≠0，b≠0) (2) (3)a·b＝0
3．(a·b) (λb) b·a a·b＋a·c
要点三
1．||b|cs 〈a，b〉|
2．|b|cs 〈a，b〉
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：A、D正确，B、C不正确．
答案：AD
3．解析：∵cs 〈a，b〉＝＝＝－
∴〈a，b〉＝.
答案：
4．解析：(1)||cs (π－∠C′AD)
＝－||＝－4，
(2)||cs ∠C′AA′＝||＝3.
答案：(1)－4 (2)3
题型探究·课堂解透
例1 解析：①·＝·
＝||||cs 〈，〉
＝cs 60°＝.
②·＝·＝||2＝.
③·＝·＝－·＝－×cs 60°＝－.
④·＝·(－)
＝·－·
＝||||cs 〈，〉－||||cs 〈，〉＝cs 60°－cs 60°＝0.
跟踪训练1 解析：如图，＝－，＝－＝－
∴·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋||2
＝0－0－0＋a2＝a2
答案：a2
例2 解析：(1)如图所示，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，
所以a·b＝b·c＝c·a＝.
因为＝ (a＋b)，＝c－b，
所以·＝ (a＋b)·(c－b)＝a·c＋b·c－a·b－ (b)2＝－.
又||＝||＝，
所以cs 〈，〉＝＝－.
又因为异面直线所成角的范围为（0，]，
所以OE与BF所成角的余弦值为.
(2)由平行六面体ABCD－A1B1C1D1可得＝＋＋
所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝12＋22＋32＋2cs 60°×(1×2＋1×3＋2×3)
＝25
所以||＝5.
跟踪训练2 解析：(1)∵＝－
∴·＝·－·
＝||||cs 〈，〉－||·||cs 〈，〉
＝8×4×cs 135°－8×6×cs 120°
＝24－16
∴cs 〈，〉＝＝＝
∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为.
(2)∵∠ACD＝90° ∴·＝0
同理可得·＝0
∵AB与CD成60°角
∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°，
又＝＋＋
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2×(·＋·＋·)
＝3＋2×1×1×cs 〈，〉
∴当〈，〉＝60°时，||2＝4，∴||＝2；
当〈，〉＝120°时，||2＝2，∴||＝.
答案：(1) (2)2或
例3 证明：
连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
又＝ (＋)
＝ [＋ (＋)]
＝ (a＋b＋c)，＝c－b.
∴·＝ (a＋b＋c)·(c－b)
＝ (a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝ (|a|2·cs θ－|a|2·cs θ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴⊥，即OG⊥BC.
跟踪训练3 证明：证法一 ∵AB⊥CD，AC⊥BD，
∴·＝0，·＝0，
∴·＝(＋)·(－)＝·＋·－2－·＝·(－－)＝·＝0，
∴AD⊥BC.
证法二 ∵AB⊥CD，∴·＝·(－)＝0，
即·＝·.
同理，由AC⊥BD，可得·＝·.
∴·＝·，
∴·(－)＝0，
∴·＝0，即AD⊥BC.
[课堂十分钟]
1．解析：因为数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质可知B正确，C中结论不一定成立，D运算正确．故选BD.
答案：BD
2．解析：∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cs 〈a，b〉＝1－1··cs 〈a，b〉＝0，∴cs 〈a，b〉＝.∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.故选D.
答案：D
3．解析：·＝(－)·(－)＝ ·－·－·＋AB2＝AB2>0，同理，·>0，·>0，∴三角形的三个内角均为锐角．故选B.
答案：B
4．解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×cs＋22＝7，
∴|a＋b|＝.
答案：
5．解析：由题意知||＝，||＝，＝＋，＝＋＋，
∵PA⊥平面ABCD，∴·＝·＝·＝0，
∵AB⊥AD，∴·＝0，∵AB⊥BC，∴·＝0，∴·＝(＋)·(＋＋)＝AB2＝||2＝1，
又∵||＝，||＝，∴cs 〈，〉＝＝＝，
∴〈，〉＝60°，
∴PB与CD所成的角为60°.数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ____＝a·____
交换律
a·b＝____________
分配律
a·(b＋c)＝____________
易错原因
纠错心得
本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向量夹角的概念，而误认为向量的夹角〈〉＝120°，得到错误答案CD＝6.
利用数量积的性质求解有关平面或空间中角的问题时，要特别注意向量的夹角与所求角的区别与联系，切不可忽略角的取值范围而盲目套用．利用向量求二面角的平面角时，一般不能保证所求的角就是二面角的平面角，也有可能是二面角的平面角的补角，这时要结合实际图形对所求的角进行适当的处理．