高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.1 空间向量基本定理第二课时导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.1 空间向量基本定理第二课时导学案，共7页。

要点 空间向量长度与夹角的坐标表示
设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
则(1)|a|＝＝________________；
(2)cs 〈a，b〉＝＝____________________．(a≠0，b≠0)
[基础自测]
1．已知向量a＝(1，3，3)，b＝(5，0，1)，则|a－b|等于( )
A.7 B．
C．3 D．
2．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则向量a与λb(λ≠0)的夹角为( )
A．B．或
C．D．或
3．已知a＝(2，1，3)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则|a－b|＝________．
4．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为________．
题型一 给定坐标求长度与夹角
例1 (1)长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则向量与所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
(2)已知△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
方法归纳
解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．
跟踪训练1 已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(2，2，1)，计算：
(1)|2a－b|；
(2)cs 〈a，b〉．
题型二 建系求长度与夹角
例2 在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长．
方法归纳
通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．
跟踪训练2 已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)
易错辨析 忽视两个向量夹角为锐角(钝角)的条件致误例3 已知a＝(5，3，－1)，b＝（2，t，），若a与b的夹角为锐角，求实数t的取值范围．
解析：因为a，b的夹角为锐角，所以a·b>0，即10＋3t＋>0，则t>－，又当夹角为0°时，存在λ>0，使b＝λa，
即（2，t，）＝λ(5，3，－1)，所以解得t＝.
综上，实数t的取值范围是(－)∪().
【易错警示】
[课堂十分钟]
1．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于( )
A．3 B．2 C． D．5
2．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(－2，1，1)，a，b夹角的余弦值为，则λ＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．2
3．已知a＝(2，－1，2)，b＝(2，2，1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为( )
A． B． C．4 D．8
4．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，0，)，B，C(－1，0，)，则角A的大小为________．
5．在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°.现将△ABC沿着与平面ABC垂直的方向平移到△A1B1C1的位置，已知AA1＝2，分别取A1B1，A1A的中点P，Q.
(1)求的模；
(2)求cs 〈，CB1〉，cs 〈BA1，CB1〉．
第2课时 空间向量长度与夹角的坐标表示
新知初探·课前预习
要点
[基础自测]
1．解析：|a－b|＝|(1，3，3)－(5，0，1)|＝|(－4，3，2)|＝＝.故选B.
答案：B
2．解析：∵a·b＝1＋n＝3，∴n＝2，
又|a|＝，b＝(1，1，2)，∴cs 〈a，b〉＝＝＝.
又〈a，b〉∈[0，π]，
∴向量a与b的夹角为.
若λ大于0，则向量a与λb(λ≠0)的夹角为，
若λ小于0，则向量a与λb(λ≠0)的夹角为π－＝，故选B.
答案：B
3．解析：由题，因为a⊥b，所以a·b＝－8＋2＋3x＝0，即x＝2，
所以b＝(－4，2，2)，则a－b＝(6，－1，1)，
所以|a－b|＝＝.
答案：
4．解析：∵＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)，
∴||＝3，||＝，
·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cs 〈〉＝＝，
又∵〈〉∈[0，π]，∴〈〉＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：
(1)建立坐标系如图，则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)．所以＝(－1，0，2)，＝(－1，2，1)，
故，〉＝＝.
所以向量与所成角的余弦值为.故选B.
(2)设＝λ，又＝(0，4，－3)．
则＝(0，4λ，－3λ)．＝(4，－5，0)，＝(－4，4λ＋5，－3λ)，
由·＝0，得λ＝－，∴＝(－4，)，
∴||＝5.故选C.
答案：(1)B (2)C
跟踪训练1 解析：(1)∵a＝(0，－1，1)，b＝(2，2，1)，
∴2a－b＝2(0，－1，1)－(2，2，1)＝(－2，－4，1)，
∴|2a－b|＝＝.
(2)∵a＝(0，－1，1)，b＝(2，2，1)，
∴a·b＝(0，－1，1)·(2，2，1)＝－2＋1＝－1，
|a|＝，|b|＝＝＝3，
∴cs 〈a，b〉＝＝＝－.
例2 解析：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D ­ xyz，
则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G.
所以＝，
＝＝＝.
因为·＝×0＝0，所以⊥，即EF⊥CF.
(2)因为·＝×1＋×0＋＝，
||＝＝，
||＝＝，
所以cs 〈〉＝＝＝.
又因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]，
所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为.
(3)|CE|＝||＝＝.
跟踪训练2 解析：(1)由已知可得2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，
故|2a＋b|＝＝5.
(2)存在．设＝t.由已知可得＝(－3，－1，4)，＝(1，－1，－2)，则＝＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，若⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此存在点E，使得⊥b，且E点坐标为(－，－)．
[课堂十分钟]
1．解析：因为a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋(6，2，0)＝(3，1，0)＋(6，2，0)＝(9，3，0)，所以|a－b＋2c|＝3.故选A.
答案：A
2．解析：∵a＝(1，λ，2)，b＝(－2，1，1)，a，b夹角的余弦值为，又a·b＝|a||b|·cs 〈a，b〉，
∴－2＋λ＋2＝·.∴λ＝±1.∵a·b＝λ>0，∴λ＝1.故选A.
答案：A
3．解析：设向量a，b的夹角为θ，|a|＝＝3，
|b|＝＝3，
于是cs θ＝＝.由此可得sin θ＝.
所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为S＝2××3×3×＝.
故选A.
答案：A
4．解析：＝＝(－1，0，0)，则cs A＝＝＝，又因为〈〉∈[0，π]，故角A的大小为30°.
答案：30°
5．解析：
以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知得C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C1(0，0，2)，P(，2)，Q(1，0，1)，B1(0，1，2)，A1(1，0，2)，
则＝＝(0，1，2)，
＝(1，－1，2)，
＝(－1，1，2)，C1P＝.
(1)||＝＝.
＝0－1＋2＝1，||＝，
|＝＝，
〉＝＝.
又＝0－1＋4＝|＝＝|＝〉＝＝.
易错原因
纠错心得
由a与b的夹角为锐角，得到a·b>0，但当a·b>0时，a与b的夹角不一定为锐角，还可能是共线同向，夹角为0°，解题时容易忽视这个条件，导致扩大了参数的范围．
空间向量a，b夹角为锐角的充要条件是“a·b>0，且a，b不同向”；a，b夹角为钝角的充要条件是“a·b<0，且a，b不反向”．如果在求解过程中，忽视两个向量共线的情况，就有可能扩大参数的取值范围，导致错误．