新教材2023版高中数学第三章空间向量与立体几何4向量在立体几何中的应用4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系第二课时空间中直线平面的垂直学案北师大版选择性必修第一册

这是一份新教材2023版高中数学第三章空间向量与立体几何4向量在立体几何中的应用4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系第二课时空间中直线平面的垂直学案北师大版选择性必修第一册，共8页。

第2课时　空间中直线、平面的垂直[教材要点]要点　空间垂直关系的向量表示设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则[基础自测]1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．(　　)(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.(　　)(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．(　　)(4)如果一个向量与平面内两个向量垂直，则此向量是平面的一个法向量．(　　)2．若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　)A．l∥α　　　B．l⊥α　　　C．l⊂α　　　D．l与α斜交3．设直线l的方向向量u＝(－2，2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6，12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于(　　)A．4 B．－4 C．2 D．－24．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，2，3)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________．题型一　直线与直线垂直例1　已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.方法归纳建立空间直角坐标系，将两直线的方向向量用坐标表示，再证明其数量积为0.跟踪训练1　已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，点F为BD1的中点．证明：EF⊥BD1，EF⊥CC1.题型二　直线与平面垂直例2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.方法归纳利用坐标法证明线面垂直的步骤方法一1．建立空间直角坐标系；2．将直线的方向向量用坐标表示；3．找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；4．分别计算直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量的数量积，得到数量积为0.方法二1．建立空间直角坐标系；2．将直线的方向向量用坐标表示；3．求出平面的法向量；4．证明直线的方向向量与平面的法向量平行．跟踪训练2　如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面(经过圆柱的轴的截面)，BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为CC1的中点，A是底面圆周上异于B，C的一点，A1是上底面圆周上异于B1，C1的一点，且AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝4，求证：B1O⊥平面AEO.题型三　平面与平面垂直例3　在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.方法归纳1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．2．利用法向量证明面面垂直思路比较简单，但往往运算量大；而利用面面垂直的判定定理证明则运算量较小，但思维难度比较大，这两种策略同学们要灵活选择．跟踪训练3　在正三棱锥(底面是正三角形且侧棱相等)P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.[课堂十分钟]1．若直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则l1与l2的位置关系是(　　)A．l1⊥l2　　　　　　　B．l1∥l2C．l1、l2相交不垂直 D．不能确定2．若平面α的法向量为u＝(1，－3，－1)，平面β的法向量为v＝(8，2，2)，则(　　)A．α∥β B．α与β相交C．α⊥β D．不确定3．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则等于(　　)A．B．C． D．4．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．证明：CD⊥平面PAE.第2课时　空间中直线、平面的垂直新知初探·课前预习[基础自测]1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．解析：∵n＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.答案：B3．解析：因为直线l⊥平面α，所以u∥v，则＝＝，解得t＝－4，故选B.答案：B4．解析：∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝x－4＋9＝0，∴x＝－5.答案：－5题型探究·课堂解透例1　证明：设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A(－，0，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，N(0，)，B1(，0，1)，∵M为BC中点，∴M(，0)．∴＝＝(1，0，1)，＝－＋0＋＝0.，∴AB1⊥MN.跟踪训练1　证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，1，0)，D1(1，0，2)，C1(0，0，2)，E(0，0，1)，F(，1)，C(0，0，0)．∴＝＝＝(1，－1，2)，＝＝.例2　证明：方法一　如图以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，A1(2，0，2)，G(0，2，1)，B(2，2，0)，D(0，0，0)，＝(1，－1，2)，＝(1，1，0)，＝(－2，0，1)，而·＝1－1＋0＝·＝－2＋0＋2＝0.⊥，即OA1⊥OB，OA1⊥BG，而OB＝B，∴OA1⊥平面GBD.方法二　同方法一建系后，＝(－2，0，1)，＝(－2，－2，0)，设平面GBD的法向量为n＝(x，y，z)则∴令x＝1，得z＝2，y＝－1，∴平面GBD的一个法向量为n＝(1，－1，2)显然＝(－1，1，－2)＝－n，∴∥n，∴A1O⊥平面GBD.跟踪训练2　证明：由题意可知AB，AC，AA1两两互相垂直，以A为原点，AB，AC，AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(4，0，0)，E(0，4，2)，O(2，2，0)，B1(4，0，4)，∴＝(－2，2，－4)，＝(2，－2，－2)，＝(2，2，0)．设平面AEO的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，得平面AEO的一个法向量为n＝(1，－1，2)．∵＝(－2，2，－4)＝－2n，∴∥n，∴B1O⊥平面AEO.例3　证明：以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设A(0，0，a)，则易得B(0，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E(a，a，)，F(0，a，)，故＝(0，0，－a)，＝(a，a，0)．设平面ABC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即取x1＝1∴n1＝(1，－1，0)为平面ABC的一个法向量．设n2＝(x2，y2，z2)为平面BEF的一个法向量，同理可得n2＝(1，1，－)．∵n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－)＝0，∴平面BEF⊥平面ABC.跟踪训练3　证明：以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，P(0，0，0)∴＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，则有n⊥，n⊥.∴令y＝1，得z＝－1，x＝0即n＝(0，1，－1)∵n·＝0∴n⊥即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直．∴平面EFG⊥平面PBC.[课堂十分钟]1．解析：由题意，直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，a·b＝－2＋6－4＝0，∴l1与l2的位置关系是l1⊥l2.故选A.答案：A2．解析：∵平面α的法向量为u＝(1，－3，－1)，平面β的法向量为v＝(8，2，2)，∴u·v＝(1，－3，－1)·(8，2，2)＝8－6－2＝0.∴u⊥v，∴α⊥β.故选C.答案：C3．解析：因为⊥，所以·＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z＝0，所以z＝4，因为BP⊥平面ABC，所以⊥，且⊥，即1×(x－1)＋5y＋(－2)×(－3)＝0，且3(x－1)＋y＋(－3)×4＝0.解得x＝，y＝－，于是＝.故选D.答案：D4．证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A­xyz.设PA＝h，则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，5，0)，E(2，4，0)，P(0，0，h)．所以＝(－4，2，0)，＝(2，4，0)，＝(0，0，h)因为·＝－8＋8＋0＝0，·＝0所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.线线垂直l⊥m⇔l⊥m线面垂直l⊥α⇔l∥n1面面垂直α⊥β⇔n1⊥n2