高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.3 全概率公式导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.3 全概率公式导学案，共6页。
[教材要点]
要点 全概率公式
设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，则对任意一个事件A有P(A)＝______________，称上式为全概率公式．
状元随笔 (1)公式的直观作用：
由于公式包含了乘法公式P(ABi)＝P(Bi)P(A|Bi)即先有Bi后有A，Bi对A的发生均有一定作用，只有Bi发生了，才有A发生的可能性，Bi是A发生的全部“原因”因此，我们可视为公式的直观作用是“由因求果”．
(2)运用公式的关键：
运用公式的关键是寻找其中的完备事件组B1，B2，…，Bn，该完备事件组是为了计算P(A)而人为地引入的，选择适当的完备事件组可以使计算大为简化；选择不适当，则不利于问题的解决．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)全概率公式中样本空间Ω中的事件Bi需满足的条件是＝Ω.( )
(2)每次试验B1，B2，…，Bn中只能发生一个．( )
(3)每次试验B1，B2，…，Bn必有一个发生．( )
(4)全概率公式解决由果索因问题．( )
2．市场上供应的灯泡中，甲厂灯泡占70%，乙厂灯泡占30%，甲厂灯泡的合格率是95%，乙厂灯泡的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( )
A．0.665 B．0.564
C．0.245 D．0.285
3．已知A，B为样本空间Ω中的事件，BA与B是互斥的，B＝BA＋B，且P(AB)＝，P(B)＝，则P(B)＝( )
A．B．
C．D．
4．有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽2件．则第一次和第二次都抽到次品的概率是________．
题型一 全概率公式在简单事件中的应用
例1 某学校有A，B两家餐厅，王飞第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6，如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王飞第2天去A餐厅用餐的概率．
方法归纳
全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求出最后结果的概率，解题步骤如下：
(1)找出条件事件里的某一个完备事件组，分别命名为Ai；
(2)命名目标的概率事件为事件B；
(3)代入全概率公式求解．
跟踪训练1 设有两箱同一种商品：第一箱内装50件，其中10件优质品；第二箱内装30件，其中18件优质品．现在随意地打开一箱，然后从中随意取出一件，求取到是优质品的概率．
题型二 全概率公式在复杂事件中的应用
例2 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率．
方法归纳
为了求复杂事件的概率，往往可以把它分解成若干个互斥的简单事件之和，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率的可加性得到结果．
跟踪训练2 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
易错辨析 混淆条件概率中的条件致误
例3 根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为0.95；非肝炎病人的试验呈阴性的概率为0.95.对自然人群进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎．现有某人做此试验，结果为阳性，问此人确有肝炎的概率为多少？
解析：设A＝“某人患有肝炎”，B＝“某人做此试验结果为阳性，则由已知条件有P(B|A)＝0.95，P(|)＝0.95，P(A)＝0.005，从而P()＝1－P(A)＝0.995，P(B|)＝1－P(|)＝0.05.
由贝叶斯公式，有P(A|B)＝＝≈0.087.
所以此人确有肝炎的概率约为0.087.
【易错警示】
[课堂十分钟]
1．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为( )
A． B． C． D．
2．一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，求第二次取到白球的概率．
3．现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率．
1．3 全概率公式
新知初探·课前预习
要点
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：记事件A为“买到一个甲厂灯泡”，事件B为“买到一个合格灯泡”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，故P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.
答案：A
3．解析：由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(AB)＋P(B)＝＝.
答案：D
4．解析：设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件B.
P(AB)＝＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2＝“第2天去A餐厅用餐”，则Ω＝A1且A1与B1互斥．根据题意得：P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8.
由全概率公式得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)
＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7
所以王飞第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
跟踪训练1 解析：设A＝{取到的是优质品}，Bi＝{打开的是第i箱}(i＝1, 2)，
P(B1)＝P(B2)＝，P(A|B1)＝＝，
P(A|B2)＝＝，由全概率公式得
P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝.
例2 解析：设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1且A1，A2，A3两两互斥．根据题意得
P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，
P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.
(1)由全概率公式，得P(B)
＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05
＝0.0 525.
(2)“如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率．
P(A1|B)＝＝＝＝
类似地，可得P(A2|B)＝，P(A3|B)＝.
跟踪训练2 解析：(1)从甲箱中任取2个产品包含的样本点数为＝28，这2个产品都是次品包含的样本点数为＝3，所以这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品，1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1，B2，B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，
P(B2)＝＝，
P(B3)＝＝，
所以P(A|B1)＝， P(A|B2)＝， P(A|B3)＝.
由全概率公式得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝＝.
[课堂十分钟]
1．解析：记事件A为“第1球投进”，事件B为“第2球投进”，
P＝，P＝，P＝，
由全概率公式可得P＝PP＋PP＝＋＝.
故选B.
答案：B
2．解析：设A＝{第一次取到白球}，B＝{第二次取到白球}，因为B＝ABB，且AB与B互斥，
所以P(B)＝P(ABB)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝＝0.6.
3．解析：设事件A＝“对所选的题有思路”，＝“对所选的题完全没有思路”，事件B＝“做对所选题目”，则Ω＝A，且A与互斥．
由题意得P(A)＝＝，P()＝＝，P(B|A)
＝0.9，P(B|)＝0.25.
由全概率公式，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×0.9＋×0.25＝0.737 5.即他做对该题的概率是0.737 5.
易错原因
纠错心得
把P(A|B)与P(B|A)搞混，误认为P(B|A)＝0.95为所求，造成误诊．
正确理解P(A|B)与P(B|A)的含义，防止造成不必要的错误．