高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册第1章 导数及其应用1.1 导数概念及其意义导学案及答案

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册第1章 导数及其应用1.1 导数概念及其意义导学案及答案，共5页。
教 材 要 点
要点一 平均速度❶
若在一直线上运动的动点P在任何时刻t的位置均可用f(t)表示，则从时刻a到时刻b的位移为f(b)－f(a)．因为所花时间为b－a，所以在时间段[a，b]内动点P的平均速度为v[a，b]＝.
批注❶ 平均速度是一个描述物体平均快慢程度和运动方向的矢量，它粗略地表示物体在一段时间内的运动情况．
要点二 平均变化率
一般地，函数y＝f(x)的自变量有可能不是时刻，因变量有可能不表示位置，因而就不一定是平均速度，但仍然反映了因变量y随自变量x变化的________和________________，因此我们把称为函数f(x)在区间[a，b]内的平均变化率❷.
批注❷
(1)平均变化率不能脱离区间而言．
(2)函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[a，b]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平均速度是刻画某函数在区间[a，b]上变化快慢的物理量．( )
(2)因变量的改变量f(b)－f(a)一定大于0.( )
(3)函数的平均变化率不能为0.( )
2．质点运动规律s(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( )
A．6.3 B．36.3
C．3.3 D．9.3
3．设函数f(x)＝x2－1，当自变量x由1变到1.1时，函数f(x)的平均变化率是( )
A．2.1 B．0.21
C．1.21 D．12.1
4．函数f(x)＝x在区间[2，4]上的平均变化率为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
求平均速度
例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求t＝0到t＝1的平均速度．
方法归纳
求物体平均速度的步骤
巩固训练1 已知一物体的运动方程为s(t)＝t2＋2t＋3，求物体在[1，1＋h]这段时间内的平均速度．
求平均变化率
例2 已知函数f(x)＝－x2图象上一点(－3，－9)及其附近一点(－3＋d，f(－3＋d))，求.
方法归纳
求平均变化率的步骤
巩固训练2 函数f(x)＝2x－3x在[0，2]上的平均变化率为( )
A． B．－
C．1 D．－2
平均变化率的几何意义
例3 已知函数f(x)＝x2－1图象上两点A(2，3)，B(2＋d，f(2＋d))，当d＝－1时，求割线AB的斜率.
方法归纳
一般地，P(x0，y0)是曲线y＝f(x)上一点，Q(x0＋d，f(x0＋d))是曲线上另外一点，则割线PQ的斜率为f(x)从x0变化到x0＋d的平均变化率．
巩固训练3 如图，直线l为经过曲线上点P和Q的割线．
(1)若P(1，2)，Q(5，7)，求l的斜率；
(2)当点Q沿曲线向点P靠近时，l的斜率变大还是变小？
1．1.1 函数的平均变化率
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
f(b)－f(a)
要点二
快慢 变化方向(增减)
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)×
2．解析：s(3)＝12，s(3.3)＝13.89，∴＝＝＝6.3，故选A.
答案：A
3．解析：根据平均变化率的公式，可得函数f(x)＝x2－1由1到1.1的平均变化率为：
＝＝2.1.故选A.
答案：A
4．解析：＝＝1.
答案：1
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)由于v＝＝＝3－t.
∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．
(2)S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2，
∴＝＝＝2.
∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.
巩固训练1 解析：s(1＋h)－s(1)＝[(1＋h)2＋2(1＋h)＋3]－(12＋2×1＋3)＝h2＋4h，
于是得＝4＋h，
所以物体在[1，1＋h]这段时间内的平均速度为4＋h.
例2 解析：∵f(－3＋d)－f(－3)＝－(－3＋d)2－(－9)＝6d－d2，
∴＝＝6－d.
巩固训练2 解析：由题意得f(x)＝2x－3x在[0，2]上的平均变化率为＝－，故选B.
答案：B
例3 解析：∵f(2＋d)－f(2)＝(2＋d)2－1－22＋1＝4d＋d2，
∴kAB＝＝＝4＋d.
又d＝－1，所以4＋d＝3，
所以割线AB的斜率为3.
巩固训练3 解析：(1)因为P(1，2)，Q(5，7)，所以kl＝＝.
(2)当Q沿曲线向点P靠近时，直线的倾斜角α(锐角)在变大，又k＝tan α，所以直线l的斜率变大了．