湘教版（2019）选择性必修 第二册2.2 空间向量及其运算学案

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第二册2.2 空间向量及其运算学案，共11页。

教 材 要 点
要点一 空间向量
1．空间向量的概念
批注❶ 空间向量在空间中是可以任意平移的．
2.几类特殊向量❷
批注❷ 类比平面向量记忆．
要点二 空间向量的加减与数乘运算
批注❸ 当两个以上的空间向量相加时，可将三角形法则推广到多边形法则：n个向量首尾顺次相接，则封闭折线的起点指向终点的有向线段表示的向量就是它们的和，即++++=
批注❹ 注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λ＝；当λ≠0时，若＝，则λ＝．
要点三 空间向量的数量积
1.空间向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角❺，记作________，其取值范围为[0，π].
批注❺ 关键是起点相同！
2．空间向量的数量积
定义a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉❻为a与b的数量积．
批注❻
(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量．
(2)零向量与任意向量的数量积等于零．
3．性质
a·b＝0⇔________，a·a＝________，|a|＝________，cs 〈a，b〉＝________．
4．运算律❼
λ(a·b)＝________，a·b＝________(交换律)，a·(b＋c)＝________(分配律)．
批注❼ 特别提醒：不满足结合律(·)·＝·(·)．
5．投影向量
如图，将空间任意两个向量a，b平移到同一个平面内，可得＝a，＝b，〈a，b〉＝α.过点B作BB1⊥OA，垂足为点B1，则________为在方向上的投影向量，投影向量的模________＝|||cs α|称为投影长，称________为在方向上的投影，其正负表示与方向相同还是相反．

基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间两个向量的加减运算与平面内两向量的加减法运算完全一致．( )
(2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．( )
(3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.( )
2．下列说法正确的是( )
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量
D．不相等的两个空间向量的模可能相等
3．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是( )．
A．与 B．与
C．与 D．与
4．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
空间向量的线性运算
例1 (1)(多选)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是( )
(2)如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
①；②．
方法归纳
空间向量线性运算的3个技巧
巩固训练1
如图所示，在平行六面体中，O为AC的中点．
(1)化简：－；
(2)设E是棱DD1上的点，且＝，若＝，试求实数x，y，z的值．
共线向量的应用
例2 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝，F在对角线上，且A1F＝，求证：E，F，B三点共线.
方法归纳
证明空间三点共线的三种思路
巩固训练2 如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝＝.求证：四边形EFGH是梯形．
空间向量数量积的运算
例3 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)·；(2)·；
(3)·；(4)·.
方法归纳
计算空间向量数量积的2种方法
巩固训练3 如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的边长为1，求：
；
；
．
空间向量数量积的应用
例4 已知平行六面体ABCD­A′B′C′D′的各棱长均为1，且∠A′AB＝∠A′AD＝∠BAD＝.
(1)求证：AA′⊥BD；
(2)求对角线AC′的长．
方法归纳
利用向量数量积判断或证明垂直问题的策略
巩固训练4 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G⊥平面DEF.
2．2 空间向量及其运算
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．大小 方向 大小 模 有向线段
2．相同 相等 相反 相等 1 b∥a
要点二
b＋a a＋(b＋c) |λ||a| 相同 相反
要点三
1．〈a，b〉
3．a⊥b |a|2
4．(λa)·b b·a a·b＋a·c
5． || ||cs α
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)×
2．解析：对A，零向量的相反向量是本身，故A错；
对B，终点构成一个球面，故B错；
对C，向量不能比较大小，故C错；
对D，相反向量是不相等向量，但它们的模长相等，故D正确．
答案：D
3．解析：对于A，因为＝，所以与的夹角为45°，故A正确；
对于B，因为＝，所以与的夹角为135°，故B不正确；
对于C，因为＝，所以与的夹角为90°，故C不正确；
对于D，因为＝，所以与的夹角为180°，故D不正确．
答案：A
4．解析：＝＝＝－a＋b＋c.
答案：－a＋b＋c
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)A中－－＝－＝；
B中＝＝；
C中＝＝＝；
D中＝＝．
(2)①∵点P是C1D1的中点，
∴＝＋＝＋＝a＋c＋b.
②∵点N是BC的中点，
∴＝＋＝＋＝－a＋b＋c.
答案：(1)AB (2)见解析
巩固训练1 解析：(1)－)＝－＝－＋＝．
(2)＝＝＝，
∴x＝、y＝－、z＝－.
例2 证明：设＝a，＝＝c.
∵＝，＝，
∴＝，＝．
∴＝＝b，＝)＝)＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c＝(a－b－c)．
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝，所以E，F，B三点共线．
巩固训练2 证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点，
∴＝＝.
则＝＝＝)＝.
∵＝＝＝)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在EH上，故四边形EFGH是梯形．
例3 解析：(1)·＝·＝||||·cs 〈，〉＝cs 60°＝.
(2)·＝·＝||2＝.
(3)·＝·＝||·||cs 〈〉＝cs 120°＝－.
(4)·＝·()＝··＝||||cs 〈〉－||||cs 〈〉＝cs 60°－cs 60°＝0.
巩固训练3 解析：＝0.
＝|cs 45°＝1.
＝〉
＝＝－1.
例4 解析：
(1)证明：由题意，平行六面体ABCD ­A′B′C′D′的各棱长均为1，∠A′AB＝∠A′AD＝∠BAD＝，
因为＝，
所以·＝·()＝··＝||·||cs ∠A′AD－||·||cs ∠A′AB＝1×1×－1×1×＝0，
所以AA′⊥BD.
(2)因为＝＝＝，
所以||2＝()2＝＋2(···)
＝12＋12＋12＋2(1×1×＋1×1×＋1×1×)＝6.
所以||＝.
巩固训练4 证明：设正方体的棱长为a，
∵·＝(＋)·()
＝···＋···
＝··＝a2－a2＝0，
∴A1G⊥DF.
同理可证A1G⊥DE，又DF＝D，
∴A1G⊥平面DEF.定义
把空间中既有________又有________的量称为空间向量❶．
长度
向量的________叫作向量的长度或________．
表示法
①几何表示法：空间向量用________表示．
②字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||.
相等向量
方向________且长度________的向量．
相反向量
方向________、长度________的向量．
零向量
长度为零的向量．
单位向量
长度为________的向量．
共线向量
(平行向量)
对于空间任意两个向量a、b(a≠0)，若b＝λa，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作________．
运算
法则(或几何意义)
运算律
加法a＋b❸
(1)交换律：
a＋b＝________；
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝________
减法a－b
a－b＝a＋(－b)
数乘λa❹
(1)|λa|＝________；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向________；当λ＜0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝0
λ(a＋b)＝λa＋λb.
(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a.