新教材2023版高中数学第2章空间向量与立体几何章末复习课学案湘教版选择性必修第二册

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章末复习课知识网络·形成体系考点聚焦·分类突破　考点一　空间向量的概念及运算1．空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等．2．通过对空间向量的概念及运算的考查，提升学生的数学运算素养．例1　(1)如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝(　　)A．－a＋b＋cB．a－b＋cC．a＋b－cD．a＋b－c(2)正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱BC，AD的中点，则·的值为(　　)A．4 B．－4C．－2 D．2考点二　利用空间向量证明线面位置关系1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明．2．通过对用空间向量证明直线、平面的平行与垂直的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．例2　如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.求证：(1)AF∥平面BDE；(2)CF⊥平面BDE.考点三　利用空间向量求空间角1．空间角的计算公式(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2，则l1，l2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈v1，v2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为v，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈v，n〉|.(3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β夹角θ满足cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|.2．通过对利用向量计算空间角的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．例3　如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，底面ABCD是梯形，AD∥BC，CD⊥PB，PD＝AD＝AB＝BC＝2.(1)求证：PD⊥平面ABCD；(2)若直线PC与平面ABCD所成的角为30°，点E在线段AP上，且＝3，求平面PBD与平面BDE夹角的余弦值．考点四　利用空间向量计算距离1．空间距离的计算公式(1)直线l外一点P到直线l的距离：PQ＝＝(其中A是l上的定点，是在l上的投影向量，＝a，u是l的单位方向向量)．(2)平面α外一点P到平面α的距离：PQ＝＝＝(其中A是平面α内的定点，n是平面 α的法向量)．2．通过对利用空间向量计算距离的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．例4　长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，求：(1)M到直线PQ的距离；(2)M到平面AB1P的距离．章末复习课考点聚焦·分类突破例1　解析：(1)＝＝＝－＝－，∵＝a，＝b，＝c，∴＝－a＋b＋c.(2)∵＝＝，∴·＝()·＝＋·＝×22cos 60°－22＋×22×cos 60°＝－2.答案：(1)A　(2)C例2　证明：(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG，因为EG⊄平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C ­xyz，则C(0，0，0)，A(，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，F(，，1)．所以＝(，1)，＝(0，－，1)，＝(－，0，1)．所以·＝0－1＋1＝0，·＝－1＋0＋1＝0.所以CF⊥BE，CF⊥DE.又BE＝E，所以CF⊥平面BDE.例3　解析：(1)证明：取BC中点F，连接DF.∵AD∥BF，且AD＝BF，∴四边形ABFD为平行四边形．则DF＝AB＝BC，于是CD⊥BD.又∵CD⊥PB，PB＝B，∴CD⊥平面PBD.又∵PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD.又∵平面PCD⊥平面ABCD且交线为CD，∴PD⊥平面ABCD.(2)∵PD⊥平面ABCD，∴∠PCD即为直线PC与平面ABCD所成的角，∴∠PCD＝30°.又∵PD＝2，∴CD＝AF＝2，BD＝2.以DB，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D ­xyz，则D(0，0，0)，B(2，0，0)，A(1，－，0)，P(0，0，2)．＝(1，－，－2)，＝(2，0，0)，＝(0，0，2)．∵＝3，∴＝＝(0，0，2)＋(1，－，－2)＝(，－)．设平面BDE的法向量n＝(x，y，z)，由得取n＝(0，4，)．由(1)可知，DC⊥平面PBD，所以平面PBD的法向量＝(0，2，0)，∴cos 〈，n〉＝＝＝.∴平面PBD与平面BDE夹角的余弦值为.例4　解析：如图，建立空间直角坐标系B ­xyz，则A(4，0，0)，M(2，3，4)，P(0，4，0)，Q(4，6，2)，B1(0，0，4)．(1)∵＝(－2，－3，2)，＝(－4，－2，－2)，∴在上的射影的模为＝＝，∴M到直线PQ的距离为＝＝；(2)设平面AB1P的法向量n＝(x，y，z)，则，n⊥，＝(－4，0，4)，＝(－4，4，0)，，令x＝1，解得y＝1，z＝1，∴n＝(1，1，1)，又＝(2，－3，－4)，∴M到平面AB1P的距离d＝＝＝.