高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第1章 数列1.1 数列的概念第1课时导学案

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(1)通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(表格、图象、解析法)．
(2)了解数列是一种特殊函数．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 数列的概念
1．数列的定义：按照________排成的一列数叫作数列❶.
2．数列的项❷：数列中的________叫作这个数列的项，排在第一位的数叫作数列的________或叫作数列的________，排在第二位的数叫作数列的第2项，…，排在第n位的数叫作数列的________．
要点二 数列的分类
要点三 函数与数列的关系
数列{an}可以看成正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，f(3)，….
要点四 数列的表示方法
1．数列的表示方法：解析式法、列表法、图象法．
2．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个式子表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式❸.数列的通项公式就是数列的解析表达式．
批注❶ (1)如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列；
(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．
批注❷ 数列的项与项数是两个不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号．
批注❸ (1)并不是所有数列都能写出其通项公式；
(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1){0，1，2，3，4}是有穷数列．( )
(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一数列．( )
(3)所有自然数能构成数列．( )
(4)数列1，3，5，7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1.( )
2．下列有关数列的说法正确的是( )
A．同一数列的任意两项均不可能相同
B．数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一个数列
C．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
D．数列中的每一项都与它的序号有关
3．数列1，…的一个通项公式是( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
4．已知数列，…，，…则5是这个数列的( )
A．第12项 B．第13项
C．第14项 D．第25项
5．数列1，2，，…中的第26项为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 数列的概念和分类
例1 (1)下列说法正确的是( )
A．数列4，7，3，4的首项是4
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列3，6，8可以表示为{3，6，8}
D．a，－3，－1，1，b，5，7，9，11一定能构成数列
(2)已知下列数列：
①1，2，22，23，…，260；
②1，0.5，0.52，0.53，…；
③－2，2，－2，2，…；
④3，3，3，3，…；
⑤0，，…，；
⑥1，0，－1，…，sin ，….
其中有穷数列是________；无穷数列是________．
方法归纳
数列的判断技巧及分类方法
(1)数列的判断方法
①集合中的数是无序的，元素又是互异的；而数列中的数是严格按照顺序排列的，项与项可以是相同的；
②组成数列的数相同，而且排列次序也相同，满足这两个条件才是相同的数列．
(2)根据数列的项数可分为：
①项数有限的数列是有穷数列；
②项数无限的数列是无穷数列．
巩固训练1 下列说法正确的是( )
A．数列－1，0，1，2与数列2，1，0，－1是相同的数列
B．数列1，2，3，4，5是有穷数列，而数列1，2，3，4，…，n是无穷数列
C．数列的第k项为1＋
D．数列{2n}的项数是2n
题型2 观察法写出数列的通项公式
例2 写出下面各数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：
(1)－1，，－；
(2)，3，；
(3)0.9，0.99，0.999，0.999 9；
(4)3，5，3，5.
方法归纳
观察法写出数列的通项公式的策略
巩固训练2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)，－，－；
(2)，2，，8，；
(3)2，0，2，0.
题型3 数列通项公式的简单应用
例3 已知数列{an}的通项公式为an＝.
(1)求这个数列的第10项；
(2)在区间内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由．
方法归纳
1．利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
2．判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
巩固训练3 已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N＋.
(1)写出数列的前3项；
(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项．
易错辨析 忽视数列中n∈N＋致错
例4 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则an的最小值为________．
解析：∵an＝n2－5n＋4＝－，
可知对称轴方程为n＝，
又n∈N＋，故n＝2或3时，
an有最小值，且a2＝a3＝－2.
答案：－2
【易错警示】
详解答案
第1章 数列
1．1 数列的概念
第1课时 数列的概念与简单表示法
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．一定顺序
2．每一个数 首项 第1项 第n项
要点二
有限 无限
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：A是错误的，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3；B是错误的，数列－1，0，1与数列1，0，－1中项的顺序不同，即表示不同的数列；C是错误的，{1，3，5，7}是一个集合；根据数列的概念，D是正确的．
答案：D
3．解析：由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为an＝.
答案：B
4．解析：由题意得数列的通项公式为an＝，
当an＝5，即＝5时，解得n＝12，
所以5是这个数列的第12项．
答案：A
5．解析：因为a1＝1＝，a2＝2＝，
a3＝，a4＝，a5＝，所以an＝，
所以a26＝＝＝2.
答案：2
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误；当a，b都代表数时，能构成数列，当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误．
答案：(1)A (2)①⑤ ②③④⑥
巩固训练1 解析：数列中的数是有序的，数相同但次序不同的数列是不同的数列，A不正确；数列的项数若是有限的为有穷数列，项数若是无限的为无穷数列，B中两数列的项数分别为5，n，B不正确；数列{2n}的项数为n，D不正确；数列的通项为，所以第k项为＝1＋，C正确．
答案：C
例2 解析：(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an＝(－1)n·.
(2)数列可化为，即，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝＝.
(3)原数列可变形为，…，故数列的一个通项公式为an＝1－.
(4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝.此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n.
巩固训练2 解析：(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，…，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(3)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，n∈N＋.
例3 解析：(1)a10＝＝.
(2)解不等式