高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第1章 数列1.2 等差数列学案设计

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第1章 数列1.2 等差数列学案设计，共8页。

(1)通过生活中的实例，理解等差数列的概念．
(2)能在具体问题情景中，发现数列的等差关系．
(3)会推导等差数列的通项公式，并能应用公式解决简单的等差数列问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 等差数列的概念
1．文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数❶，那么这个数列称为等差数列，这个________叫作等差数列的________，公差通常用字母________表示．
2．符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)．
要点二 等差数列的通项公式
若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an＝❷.
要点三 等差中项
在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M称为a与b的等差中项❸，即M＝________．
要点四 等差数列的常用性质❹
1．通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．
2．在等差数列{an}中，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则________．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
批注❶ 一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n无关．
批注❷ 由通项公式可知，要确定等差数列的通项公式只需确定其首项和公差即可．
批注❸ 在等差数列{an}中，任取相邻的三项an －1，an，an＋1(n≥2，n∈N＋)，则an是an －1与an＋1的等差中项．反之，若an －1＋an＋1＝2an对任意的n≥2，n∈N＋均成立，则数列{an}是等差数列．
批注❹ 熟练运用性质解题，往往能起到事半功倍的效果．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)数列{an}满足an＋1－an＝1(n>1)，则数列{an}是等差数列．( )
(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．( )
(4)一个无穷等差数列{an}中取出所有偶数项构成一个新数列，公差仍然与原数列相等．( )
2．(多选)下列数列是等差数列的有( )
A.1，1，1，1，1 B．4，7，10，13，16
C．，1， D．－3，－2，－1，1，2
3．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( )
A．2 B．3
C．－2 D．－3
4．已知实数m是1和5的等差中项，则m＝( )
A． B．±
C．3 D．±3
5．等差数列10，7，4，…的第10项是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 等差数列的通项公式
角度1 基本量的运算
例1 已知数列{an}是等差数列，且a5＝10，a12＝31.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若an＝13，求n的值．
方法归纳
(1)从方程的观点看等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．
(2)已知数列的其中两项求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形公式an＝am＋(n－m)d.
巩固训练1 (1)[2022·湖南益阳高二期末]已知{an}是公差为2的等差数列，且a3＝3，则a6＝( )
A．3 B．9
C．18 D．24
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，则a15＝________．
角度2 判断数列中的项
例2 100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．
方法归纳
判断数列中的项的步骤
巩固训练2 等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31.
(1)求a20；
(2)85是不是该数列中的项？若不是，说明原因；若是，是第几项？
题型2 等差中项及其应用
例3 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列；
(2)若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
方法归纳
三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或解决有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)．
巩固训练3 设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则有( )
A．a＝－bB．a＝3b
C．a＝3b或a＝－b D．a＝b＝0
题型3 等差数列的判定与证明
例4 已知数列{an}满足a1＝4且an＝4－(n>1)，记bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
方法归纳
证明一个数列是等差数列的2种常用方法
巩固训练4 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
题型4 等差数列的性质及应用
例5 (1)在等差数列{an}中，a5－a3＝2，a3＋a5＋2a10＝24，则a9等于( )
A．14 B．12 C．10 D．8
(2)[2022·湖南怀化高二期末]在等差数列{an}中，a2，a4是方程x2－3x－4＝0的两根，则a3的值为( )
A．2 B．3 C．±2 D．
方法归纳
利用等差数列的性质“若k＋l＝m＋n，且k，l，m，n∈N＋，则ak＋al＝am＋an”来求等差数列的某一项，可以简化解题过程，减少计算量．
巩固训练5 (1)[2022·湖南长郡中学高二期中]数列{an}为等差数列，若a2＋a4＝4，则a3＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________．
易错辨析 混淆等差数列的公共项问题中n的取值致错例6 两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？
解析：设已知两个数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn}，c1＝11，
又等差数列5，8，11，…的通项公式为an＝3n＋2，
等差数列3，7，11，…的通项公式为bn＝4n－1.
∴数列{cn}为等差数列，且公差d＝12.
∴cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.
又∵a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302.
得n≤25，可见已知两数列共有25个相同的项．
【易错警示】
1．2 等差数列
1．2.1 等差数列及其通项公式
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．常数 公差 d
要点三
要点四
2．ak＋al＝am＋an
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：由等差数列的定义可知ABC是等差数列，D不是等差数列．
答案：ABC
3．解析：由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
答案：C
4．解析：由题知：2m＝1＋5＝6，m＝3.
答案：C
5．解析：设这个等差数列为{an}，则a1＝10，d＝7－10＝－3，
所以a10＝a1＋9d＝10－27＝－17.
答案：－17
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)设{an}的首项为a1，公差为d，则由题意可知解得
∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5.
(2)由an＝13，得3n－5＝13，解得n＝6.
巩固训练1 解析：(1)因为{an}是公差为2的等差数列，a3＝3，
所以a6＝a3＋3×2＝9.
(2)方法一(方程组法) 由
得解得
∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－.
方法二(利用am＝an＋(m－n)d求解) 由a7＝a3＋(7－3)d，即－＝＋4d，解得d＝－，
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.
答案：(1)B (2)－
例2 解析：∵an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，
由7n－5＝100，得n＝15，
∴100是这个数列的第15项．
巩固训练2 解析：(1)设数列{an}的公差为d.
因为a5＝10，a12＝31，
由an＝a1＋(n－1)d得，
解得
即an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，
则a20＝3×20－5＝55.
(2)令3n－5＝85，得n＝30，
所以85是该数列{an}的第30项．
例3 解析：(1)∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项．∴b＝＝3.
又a是－1与b的等差中项，∴a＝＝1.
又c是b与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1，1，3，5，7.
(2)由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.所以m和n的等差中项为＝3.
巩固训练3 解析：依题意2x＝a＋b，2x2＝a2－b2，消去x可得2·＝a2－b2，
整理得a2－2ab－3b2＝0，所以a＝3b或a＝－b.
答案：C
例4 解析：(1)证明：∵bn＋1－bn＝
＝
＝
＝＝
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)知，bn＝＋(n－1)×＝n，
∵bn＝，
∴an＝＋2＝＋2.
巩固训练4 解析：(1)证明：因为an＋1＝2an＋2n，
所以＝＝＋1，
所以＝1，n∈N＋.
又bn＝，所以bn＋1－bn＝1.
所以数列{bn}是等差数列，其首项b1＝a1＝1，公差为1.
(2)由(1)知bn＝1＋(n－1)×1＝n，
所以an＝2n－1bn＝n·2n－1，经检验，n＝1时a1＝1也满足上式．
例5 解析：(1)因为2d＝a5－a3＝2，所以公差d＝1，
又因为a3＋a5＋2a10＝2a4＋2a10＝4a7＝24，所以a7＝6，
所以a9＝a7＋2d＝8.
(2)a2、a4是方程x2－3x－4＝0的两根，所以a2＋a4＝3，
又{an}是等差数列，所以a2＋a4＝2a3，所以a3＝.
答案：(1)D (2)D
巩固训练5 解析：(1)因为{an}为等差数列，则a2＋a4＝2a3＝4，所以a3＝2.
(2)∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，
∴a7＝.
又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.
故d＝＝＝.
∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)×，∴k＝18.
答案：(1)B (2)18
出错原因
纠错心得
混淆了两个等差数列中n的取值，误认为3n＋2＝4n－1，解得n＝3，致错．
解题时一定要理解好两个通项公式的n值的含义，否则会造成不必要的丢分．