湘教版（2019）选择性必修 第一册1.3 等比数列学案

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册1.3 等比数列学案，共6页。

(1)体会等比数列与指数函数的关系．
(2)通过指数函数理解等比数列的性质．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 等比数列与指数函数的关系
如果数列{an}是等比数列，则an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1时点(n，an)均在函数y＝a1qx－1的图象上．
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1＝·qn，其形式类似于指数型函数，所以{an}的单调性由a1和q共同决定❶.
具体情况如下：
要点二 等比数列的常用性质❷
1．在等比数列{an}中，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则________．
(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，aman＝.
(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
2．若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，那么}，{an·bn}，仍是等比数列．
批注❶ 一般地，q>0时，等比数列各项的符号相同；q<0时，等比数列各项的符号正负交替．
批注❷ 熟练运用性质解题，往往能起到事半功倍的效果．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当q>1时，{an}为递增数列．( )
(2)当q＝1时，{an}为常数列．( )
(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．( )
(4)若{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( )
2．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )
A.递增数列 B．递减数列
C.常数列 D．摆动数列
3．设{an}是等比数列，下列说法一定正确的是( )
A.a1，a3，a9成等比数列
B.a2，a3，a6成等比数列
C.a2，a4，a8成等比数列
D.a3，a6，a9成等比数列
4．对于无穷常数列7，7，…，7…，下列说法正确的是( )
A.该数列既不是等差数列也不是等比数列
B.该数列是等差数列但不是等比数列
C.该数列是等比数列但不是等差数列
D.该数列既是等差数列又是等比数列
5．在各项均为正数的等比数列{an}中，a5＝3，则a1a9＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 等比数列的性质应用
例1 (1)[2022·福建宁德高二期中]已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2＝3，a7a8＝27，则a4a5＝( )
A．7 B．8
C．9 D．10
(2)(多选)已知等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝－2，则( )
A．数列{2an＋an＋1}是等比数列
B．数列{an＋1－an}是等比数列
C．数列{anan＋1}是等比数列
D．数列{lg2|an|}是等比数列
方法归纳
有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项“下标”的指导作用．
巩固训练1 (1)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝9，则lg3a1＋lg3a2＋lg3a3＋lg3a4＋lg3a5＝( )
A． B．
C．10 D．15
(2)若数列{an}是公比为的正项等比数列，则{·a2n}是( )
A．公比为2的等比数列
B．公比为的等比数列
C．公差为2的等差数列
D．公差为的等差数列
题型2 等比数列的单调性及其应用
例2 (1)在等比数列{an}中，如果公比为q，且q<1，那么等比数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法确定单调性
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项之积为Tn，且a2＝27，a3·a6·a9＝，则当Tn最大时，n的值为( )
A．5或6 B．6
C．5 D．4或5
方法归纳
借助指数函数的单调性，轻而易举地解决数列最大项的问题．在解决等比数列的有关问题时，应注意结合指数函数的有关性质．
巩固训练2 (1)设{an}是公比为q的等比数列，则“0A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)在等比数列{an}中，已知a1>0，8a2－a5＝0，则数列{an}为( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法确定单调性
题型3 等比数列的判断与证明
例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋)
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
方法归纳
判断数列是等比数列的3种常用方法
巩固训练3 已知数列{an}与等比数列{bn}满足bn＝(n∈N＋)，试判断：{an}是等比数列吗？
1．3.2 等比数列与指数函数
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
递增数列 递减数列 递减数列 递增数列
要点二
1．akal＝aman
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．解析：∵q<0，a1>0，∴所有奇数项为正、偶数项为负，故成摆动数列．
答案：D
3．解析：根据题意，{an}是等比数列，
依次分析选项：
A．1＋9≠2×3，则(a3)2≠a1×a9，则a1，a3，a9不成等比数列，A错误；
B．2＋6≠2×3，则(a3)2≠a2×a6，则a2，a3，a6不成等比数列，B错误；
C．2＋8≠2×4，则(a4)2≠a2×a8，则a2，a4，a8不成等比数列，C错误；
D．3＋9＝2×6，则(a6)2＝a3×a9，则a2，a3，a6成等比数列，D正确．
答案：D
4．解析：由题意可知，对于无穷常数列7，7，…，7…是以7为首项，0为公差的等差数列；同时也是以7为首项，1为公比的等比数列．
答案：D
5．解析：由题意a1a9＝＝9.
答案：9
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)由a1a7＝＝a1a7·a2a8＝3×27＝81，又因为各项均为正数，所以a4a5＝9.
(2)对于A，因为{an}是等比数列，所以an＋1＝－2an，2an＋an＋1＝0，错误；对于B，an＝a1·qn－1＝(－1)n－1·2n－1，an＋1＝(－1)n·2n，于是an＋1－an＝(－1)n·2n－(－1)n－1·2n－1＝(－1)n·3·2n－1，符合函数y＝cqx的形式，可以用定义进一步验证，故{an＋1－an}是等比数列，正确；对于C，anan＋1＝(－1)n－1·2n－1·(－1)n·2n＝＝(－2)－1·(－2)2n＝－·4n，符合函数y＝cqx的形式，可以用定义进一步验证数列{anan＋1}是等比数列，正确；对于D，lg2|an|＝lg22n－1＝n－1，是等差数列，错误．
答案：(1)C (2)BC
巩固训练1 解析：(1)因为等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝9，
所以lg3a1＋lg3a2＋lg3a3＋lg3a4＋lg3a5
＝lg3(a1·a2·a3·a4·a5)＝＝lg3(95)＝lg3(310)＝10.
(2)数列{an}是公比为的正项等比数列，则＝(n≥2)，设bn＝·a2n，则＝＝·()2＝2(n≥2)，即{·a2n}是公比为2的等比数列．
答案：(1)C (2)A
例2 解析：(1)如等比数列{(－1)n}的公比为－1，是摆动数列，不具有单调性；等比数列的公比为，是递减数列；等比数列的公比为，是递增数列．
(2)设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q(q>0)，因为a3·a6·a9＝，a3·a9＝(a6)2，所以a6＝，又a2＝27，q4＝＝，故q＝，所以a1＝81，Tn＝＝＝，所以当n＝4或5时，Tn取最大值．
答案：(1)D (2)D
巩固训练2 解析：(1)当等比数列{an}的首项a1<0而公比01.故{an}为等比数列，q为公比，则“0(2)由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2.
又a1>0，所以数列{an}为递增数列．
答案：(1)D (2)A
例3 解析：(1)当n＝1时，S1＝(a1－1)＝a1，解得：a1＝－，
当n＝2时，S2＝(a2－1)＝a1＋a2，解得a2＝.
(2)证明：当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－.又a1＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
巩固训练3 解析：设数列{bn}的公比为q，则q>0，因为bn＝，所以b1＝，所以bn＝·qn－1＝.方程两边取以3为底的对数，得an＝·qn－1)＝a1＋(n－1)lg3q.由于an＋1－an＝[a1＋nlg3q]－[a1＋(n－1)lg3q]＝lg3q，可知数列{an}是以lg3q为公差的等差数列，数列{an}不是等比数列．单调性
公比q
首项
q>1
0q＝1
q<0
a1>0
________
________
常数
数列
摆动
数列
a1<0
________
________