新教材2023版高中数学第1章数列章末复习课学案湘教版选择性必修第一册

这是一份新教材2023版高中数学第1章数列章末复习课学案湘教版选择性必修第一册，共6页。

章末复习课知识网络·形成体系考点聚焦·分类突破考点一　传统文化中的数列问题1．在以实用为主的古代数学中，数列是研究的热点问题．2．通过对优秀传统文化的学习，提升学生的数学建模、数学运算素养．例1　(1)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，按此规律得到的数列记为{an}，则a15＝(　　)A．98 B．112C．128 D．132(2)《莉拉沃蒂》是古印度数学家婆什迦罗的数学名著，书中有下面的表述：某王为夺得敌人的大象，第一天行军2由旬(由旬为古印度长度单位)，以后每天均比前一天多行相同的路程，七天一共行军80由旬到达地方城市．下列说法正确的是(　　)A．前四天共行由旬B．最后三天共行53由旬C．从第二天起，每天比前一天多行的路程为由旬D．第三天行了由旬(3)[2022·湖南高二期末]《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半．第3天结束后，两只老鼠相距(　　)A．尺 B．尺C．尺 D．尺考点二　等差、等比数列的基本运算(1)计算基本量：将条件利用基本量表示，列出方程(组)求解；(2)利用性质计算：利用数列的性质转化条件，简化运算，常用的性质有等差(比)中项、数列两项、四项的关系等；(3)通过对等差、等比数列的基本运算的考查，提升学生的数学运算素养．例2　(1)已知等差数列{an}中，a3＝2，a9＝10，则a5＋a6＋a7的值是(　　)A．6 B．12C．18 D．24(2)在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为(　　)A．21 B．22C．23 D．24(3)已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于(　　)A．± B．－C． D．±(4)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝2且3S1，2S2，S3成等差数列，则S10＝________．考点三　等差、等比数列的证明1．等差、等比数列的判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列；＝q(q为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列．(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列；＝an·an＋2(an≠0)⇔{an}是等比数列．(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N＋)⇔{an}是等比数列．2．通过对等差数列、等比数列的证明的考查，提升学生的逻辑推理素养．例3　已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝(n∈N＋)．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．例4　[2022·湖南永州月考]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝.(1)求a4；(2)记bn＝a2n＋2，证明：数列{bn}为等比数列．考点四　数列通项公式与求和1．当已知数列为等差数列或等比数列时，只需利用条件求出基本量(首项a1及公差d或公比q)即可写出通项公式，解题时务必要分清是等差数列还是等比数列，切不可张冠李戴．2．对于由Sn与an构成的递推关系式，通常是通过an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去Sn或an(当消去Sn困难时)两种途径解决问题．对于由Sn与Sn－1构成的递推关系式，通常通过an＝Sn－Sn－1(n≥2)构建an求解．注意表达式an＝，若n＝1时，an(n≥2)表达式的值不等于a1，则数列的通项公式要分段表示．3．求数列的前n项和，根据数列的不同特点，常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和法．4．通过对数列通项公式及数列求和的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．例5　[2022·湖南新邵高二期末]已知Sn是等差数列{an}的前n项和，an>0，S3＝15，公差d>1，且________．从①a2－1为a1－1与a3＋1的等比中项，②等比数列{bn}的公比为q＝，b1＝a2，b3＝a3这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列{an}存在并作答．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例6　[2022·湖南邵阳十一中检测]设{an}是等差数列，{bn}是等比数列．已知a1＝4，b1＝6，b2＝2a2－2，b3＝2a3＋4.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设数列{an·bn}的前n项和为Tn，求Tn.章末复习课考点聚焦·分类突破例1　解析：(3)设大老鼠第n天打洞的距离为an，则数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为Sn；小老鼠第n天打洞的距离为bn，则数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，其前n项和为Tn.则Sn＋Tn＝2n－＋1，则S3＋T3＝8＋，从而相距尺．答案：(1)B　(2)D　(3)A例2　解析：(1)a3＝2，a9＝10，则a3＋a9＝2a6＝12，故a6＝6，a5＋a6＋a7＝3a6＝18.(2)公差d＝a2－a1＝－4，∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n，令即⇒21