湘教版（2019）选择性必修 第一册2.1 直线的斜率学案设计

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册2.1 直线的斜率学案设计，共7页。

(2)了解斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 直线的倾斜角
1．定义：当直线l与x轴相交时，把x轴正向绕交点______旋转到与直线l向上的方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角❶.
2．范围：直线的倾斜角α的取值范围是________，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.
要点二 直线的斜率
1．定义：一条直线的倾斜角α(α≠)的________值k称为这条直线的斜率．即k＝________．
2．斜率公式❷：经过两个不同点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝________．
批注❶ 任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．
批注❷ 在应用斜率公式求斜率时，首先应注意这两点的横坐标是否相等，若相等，则过这两点的直线与x轴垂直，即直线的倾斜角为，斜率不存在；若不相等，则直接代入斜率公式计算即可．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°.( )
(2)若k是直线的斜率，则k∈R.( )
(3)任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率．( )
(4)任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．( )
2．直线y＝x－的倾斜角为( )
A．120° B．135°
C．45° D．60°
3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )
A. B．
C．1 D．
4．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是( )
A．0° B．45°
C．60° D．90°
5．已知直线l的向上方向与x轴正向所成的角为60°，则直线的斜率为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 直线的倾斜角
例1 (1)(多选)下列命题正确的是( )
A．直线x＝1的倾斜角不存在
B．直线x＝的倾斜角为
C．若直线的倾斜角为α，则sin α≥0
D．若直线l经过原点和点(－1，1)，则直线l的倾斜角为135°
(2)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋40°
B．α－140°
C．140°－α
D．当0°≤α＜140°时为α＋40°，当140°≤α＜180°时为α－140°
方法归纳
求直线的倾斜角的方法及注意事项
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)注意：①当直线与x轴平等或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
巩固训练1
(1)如图，直线l的倾斜角为( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
(2)一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为( )
A．αB．180°－α
C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α
题型2 直线的斜率
例2 (1)若直线l的斜率k＝－2，又过一点(3，2)，则直线l经过点( )
A．(0，4) B．(4，0)
C．(0，－4) D．(－2，1)
(2)在平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(－2，－1)，若过点P(－1，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围是________．
方法归纳
求直线斜率3种方法
巩固训练2 (1)已知直线l的倾斜角为α，且sin α＝，则直线l的斜率为( )
A． B． C．± D．±
(2)已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．(－1，0] B．[0，1]
C．[1，2] D．[0，2]
题型3 斜率与倾斜角的变化关系
例3 (1)若右图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A.k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
(2)已知坐标平面内两点M(m＋3，2m＋5)，N(m－2，1)．
①当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
②当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
③直线MN的倾斜角可能为直角吗？
方法归纳
斜率与倾斜角的变化关系
当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率为正且越大；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率为负且越大．
巩固训练3 已知两点A(－1，2)，B(m，3)，求：
(1)直线AB的斜率k；
(2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的范围．
易错辨析 忽略直线的斜率不存在致误
例4 已知直线l经过两点A(2，－1)，B(t，4)，则直线l的斜率为________．
解析：当t＝2时，直线l与x轴垂直，所以直线l的斜率不存在；
当t≠2时，直线l的斜率k＝＝.
综上所述，当t＝2时，直线l的斜率不存在；当t≠2时，直线l的斜率k＝.
答案：不存在或
【易错警示】
第2章 平面解析几何初步
2．1 直线的斜率
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．逆时针
2．0≤α＜π
要点二
1．正切 tan α
2.
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：由y＝x－可得直线的斜率为k＝1，
设直线的倾斜角为θ，tan θ＝1，
因为0°≤θ＜180°，所以θ＝45°.
答案：C
3．解析：由题意可知，k＝tan 30°＝.
答案：A
4．解析：∵k＝＝0，∴θ＝0°.
答案：A
5．解析：因为直线l的向上方向与x轴正向所成的角为60°，
所以直线l的倾斜角为60°，
所以直线的斜率为k＝tan 60°＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)对于A，直线x＝1与x轴垂直，其倾斜角为90°，故选项错误；对于B，因为直线x＝垂直于x轴，故倾斜角为90°，故选项错误；对于C，因为0°≤α＜180°，所以sin α≥0，故选项正确；对于D，画图可知，直线l的倾斜角为135°，故选项正确．
(2)根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．
通过画图(如图所示)可知：
当0°≤a＜140°时，l1的倾斜角为α＋40°；
当140°≤α＜180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.
答案：(1)CD (2)D
巩固训练1 解析：(1)由图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°.
(2)如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.
答案：(1)D (2)D
例2 解析：(1)对于A，k＝＝－≠－2，不符合题意；
对于B，k＝＝－2，所以B正确；
对于C，k＝＝2≠－2，不符合题意；
对于D，k＝＝≠－2，不符合题意．
解析：(2)如图
可得kPA＝＝1，kPB＝＝－，
所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－ ]
答案：(1)B (2)(－∞，－ ]
巩固训练2 解析：(1)∵sin α＝且0°≤α＜180°，
∴cs α＝±＝±，
∴k＝tanα＝＝±.
(2)由作图可知当直线位于图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.
答案：(1)D (2)D
例3 解析：(1)直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.
(2)①若倾斜角为锐角，则斜率大于0，
即k＝＝＞0，解得m＞－2.
②若倾斜角为钝角，则斜率小于0，
即k＝＝＜0，解得m＜－2.
③当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时，m＋3＝m－2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角．
答案：(1)D (2)见解析
巩固训练3 解析：(1)当m＝－1时，直线AB的斜率不存在，
当m≠－1时，直线AB的斜率k＝＝，
(2)当m＝－1时，α＝，
当m≠－1时，k＝，
因为m∈，且m≠－1，
所以－≤m＋1≤，且m＋1≠0，
所以≤－或，即tan α≤－或tan α≥，
所以α∈[]，
综上，直线AB的倾斜角α∈.出错原因
纠错心得
漏掉了t＝2的情况．
在利用斜率公式求直线的斜率时，一定要注意两点横坐标相等的情况．