高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册2.2 直线的方程导学案

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册2.2 直线的方程导学案，共7页。

(1)掌握直线的一般式方程．
(2)理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．
(3)会进行直线方程的五种形式之间的转化．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点 直线方程的一般式
1．定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0❶(其中A，B不同时为0)都表示一条直线，把它称为直线的一般式方程，简称一般式．
2．适用范围：
平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
3．系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
批注❶ 虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程来表示．( )
(2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．( )
(3)直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－.( )
(4)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示过原点的直线．( )
2．直线3x＋4y＋12＝0的斜率为( )
A． B．
C．－ D．－
3．直线x－y－1＝0的倾斜角α为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
5．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 求直线的一般式方程
例1 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
方法归纳
求直线的一般式方程的策略
巩固训练1 (1)过点P(－2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0
B．x－y＋1＝0或3x＋2y＝0
C．x－y－5＝0
D．x－y＋5＝0或3x＋2y＝0
(2)过点A(－2，1)，且倾斜角的余弦值为－的直线的一般式方程为________．
题型2 用直线的一般式方程解决直线与坐标轴形成三角形问题
例2 设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)，若a＞－1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l的方程．
方法归纳
由直线的一般式方程表示直线与坐标轴形成三角形的面积的步骤
巩固训练2 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0，(k∈R)与x轴负半轴和y轴正半轴坐标轴围成的三角形面积为，求k的值．
题型3 由含参数的一般式方程求参数(或取值范围)
例3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
变式探究1 本例中若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？
变式探究2 本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？
方法归纳
求直线过定点的2种方法
巩固训练3 已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．
2．2.3 直线的一般式方程
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．解析：直线方程的斜截式为：y＝－x－3，斜率为－.
答案：D
3．解析：根据题意，易知直线x－y－1＝0的斜率k＝1，由tan α＝k＝1，得α＝45°.
答案：B
4．解析：根据直线方程的一般式可知，要使得Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为零，即A2＋B2≠0.
答案：D
5．解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式为：2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
题型探究·课堂解透
例1 解析：选择合适的直线方程形式．
(1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，
即x＋2y－4＝0.
(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.
(3)由截距式得＝1，即2x－y－3＝0.
(4)由两点式得＝，即x＋y－1＝0.
巩固训练1 解析：(1)若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为y＝kx(x≠0)，
因为直线过点P(－2，3)，所以3＝－2k，即k＝－，
所以直线方程为y＝－x，即3x＋2y＝0；
若直线在坐标轴上的截距不为0，设直线方程为＝1(a≠0)，
因为直线过点P(－2，3)，所以＝1，解得a＝－5，
所以直线方程为＝1，即x－y＋5＝0.
故所求直线方程为x－y＋5＝0或3x＋2y＝0.
解析：(2)设直线的倾斜角为θ，则θ∈[0，π)，
因为cs θ＝－，所以sin α＝＝＝，
所以直线的斜率k＝tan θ＝＝＝－2，
所以直线的方程为y－1＝－2(x＋2)，
所以直线的一般式方程为2x＋y＋3＝0.
答案：(1)D (2)2x＋y＋3＝0
例2 解析：令y＝0，求得M点坐标为M(，0)，
令x＝0，求得N点坐标为N(0，2＋a)，
∵a＞－1，∴S△OMN＝··(2＋a)＝＝(a＋1＋＋2)≥2，
当且仅当a＋1＝，即a＝0时等号成立．
故所求直线l的方程为x＋y－2＝0.
巩固训练2 解析：设直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，则k＞0，
令y＝0，得A(－，0)；令x＝0，得B(0，1＋2k)，
三角形OAB的面积为·OA·OB＝×(1＋2k)＝，
即4k2－5k＋1＝0，解得k＝1或.
例3 解析：(1)方法一 将直线l的方程整理为y－＝a(x－)，
∴直线l的斜率为a，且过定点A()，
而点A()在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．
方法二 直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.
∵上式对任意的a总成立，
必有即
即l过定点A()．以下同方法一．
(2)直线OA的斜率为k＝＝3.
如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，
∴a的取值范围为[3，＋∞)．
变式探究1 解析：由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有a≤3.
变式探究2 解析：①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求．
②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得，所以a＞1.
综上可知a≥1.
巩固训练3 证明：整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，
所以解得
所以直线l经过定点M(1，－1)．