高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案，共5页。
(1)掌握直线l的方向向量与直线l的法向量的概念．
(2)会求已知直线的方向向量与法向量．
(3)会利用直线的方向向量与法向量解决相关问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 直线l的方向向量
与直线l平行的非零向量v都称为直线l的方向向量❶.
斜率为k的直线的方向向量为________的非零实数倍．
要点二 直线l的法向量
与方程式为Ax＋By＋C＝0的直线l垂直的非零向量n＝____________称为直线l的一个法向量❷.
批注❶ 直线l的方向向量v→并不唯一，λv→的所有的非零实数倍都是方向向量．
批注❷ 直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0的一次项系数组成的向量(A，B)是直线的一个法向量．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量．( )
(2)若v是直线l的方向向量，则λv(λ∈R)也是直线l的方向向量．( )
(3)若n为直线l的一个法向量，则λn(λ≠0)也是直线l的一个法向量．( )
(4)向量(x0，y0)与(y0，－x0)是相互垂直的．( )
2．直线3x－2y－1＝0的一个方向向量为( )
A．(2，－3) B．(2，3)
C．(－3，2) D．(3，2)
3．直线3x－4y＋5＝0的一个法向量是( )
A．(3，4) B．(3，－4)
C．(4，3) D．(4，－3)
4．已知直线l的方向向量为(1，5)，则直线l的法向量为( )
A．(5，1) B．(－1，5)
C．(5，－1) D．(－5，－1)
5．若一条直线的斜率为k，则它的一个方向向量是________，一个法向量是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 求直线的方向向量和法向量
例1 (1)求直线2x－3y＋5＝0的一个方向向量和法向量；
(2)求过点A(2，3)和点B(0, －2)的直线的一个方向向量和法向量．
方法归纳
熟练掌握直线的斜截式(或一般式)方程对应的方向向量的坐标特征．不同形式的直线方程，可以先将方程化为斜截式或一般式，然后直接写出它的一个方向向量．
直线l：y＝kx＋b的一个方向向量为v＝(1，k)；
直线l：Ax＋By＋C＝0的一个方向向量为v＝(B，－A)．
巩固训练1 (1)(多选)若直线l的倾斜角等于135°，则下列向量中可以是直线l的方向向量的有( )
A．(2，2) B．(－3，3)
C．(，－) D．(－，－)
(2)若直线l经过点A(－1，4)，B(3，2)，则直线的一个法向量n为( )
A．n＝(1，－2) B．n＝(4，－2)
C．n＝(4，2) D．n＝(1，2)
题型2 直线方向向量的应用
例2 (1)经过A(0，2)，B(－1，0)两点的直线的方向向量为(1，k)，求k的值；
(2)如果直线过点P(1，－4)，且直线的方向向量是a＝(3，9)，求直线的方程．
方法归纳
已知直线的方向向量求直线方程时，可用待定系数法求得：
(1)若已知直线的一个方向向量为v＝(1，k)，则可设直线l的方程为y＝kx＋b；
(2)若已知直线的一个方向向量为v＝(B，－A)，则可设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0.巩固训练2 (1)若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与方向向量为a＝(－5，5)的直线平行，则实数m的值是( )
A． B. －
C. 2 D．－2
(2)平行于向量(2，－3)且经过点B(1，－2)的直线方程为________．
题型3 直线法向量的应用
例3 (1)已知两条直线l1：ax－2y－3＝0，l2：4x＋6y－3＝0，若l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量，则a＝________；
(2)如果直线过点D(6，－1)，且直线的法向量是b＝(4，－3)，求直线的方程．
方法归纳
已知直线的法向量求直线方程的方法
待定系数法：若已知直线的一个法向量为n＝(A，B)，则可设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0.
巩固训练3 (1)已知直线的倾斜角为120°，它的一个法向量为v＝(m，m＋1)，则m的值为( )
A．1＋ B．1－
C．D．－
(2)垂直于向量(3，－5)且经过点A(1，2)的直线方程为 ________．
2．2.4 直线的方向向量与法向量
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
(1，k)
要点二
(A，B)
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．解析：因为3x－2y－1＝0的斜率k＝，
结合选项可知直线3x－2y－1＝0的一个方向向量为(2，3).
答案：B
3．解析：∵直线3x－4y＋5＝0，斜率为，
∴其方向向量为：(1，)，
设其法向量坐标为(x，y)，
又∵方向向量和法向量垂直，
∴x＋y＝0，
符合要求的只有B.
答案：B
4．解析：因为直线l的方向向量为(1，5)，所以直线l的法向量可以是(－5，1)或(5，－1)．
答案：C
5．解析：因为直线的斜率为k，所以它的一个方向向量为(1，k)，设一个法向量为(x，y)，则(x，y)·(1，k)＝x＋ky＝0，不妨取x＝k，y＝－1，则它的一个法向量是(k，－1)．
答案：(1，k) (k，－1)
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)直线方程2x－3y＋5＝0化为y＝x＋，其斜率k＝.
所以直线的一个方向向量为(1，)．
由1××(－1)＝0可知直线的一个法向量为(，－1)．
(2)由已知条件可知直线的一个方向向量为＝(0－2，－2－3)＝(－2，－5)，
又5×(－2)＋(－2)×(－5)＝0可知直线的一个法向量为(5，－2)．
巩固训练1 解析：(1)直线l的斜率为k＝tan 135°＝－1，
所以直线l的全体方向向量为λ(1，－1)，(λ≠0，λ∈R)
检验可知B、C为直线l的方向向量．
(2)因为＝(4，－2)，
A．当n＝(1，－2)，则·n＝4＋4＝8≠0，不满足．
B．当n＝(4，－2)，则·n＝16＋4＝20≠0，不满足．
C．当n＝(4，2)，则·n＝16－4＝12≠0，不满足．
D．当n＝(1，2)，则·n＝4－4＝0，满足．
答案：(1)BC (2)D
例2 解析：(1)因为直线的方向向量为(1，k)，则k为直线的斜率，
所以k＝＝2，
所以k的值为2.
(2)由题意，直线的方向向量是a＝(3，9)，故直线的斜率k＝＝3，且直线过点P(1，－4)，故直线方程为y＋4＝3(x－1)，
即3x－y－7＝0.
巩固训练2 解析：(1)由题意得，＝(－m－3，2－2m)与a＝(－5，5)共线，所以5(－m－3)－(－5)·(2－2m)＝0，解得m＝－，经检验知，m＝－符合题意．
(2)由条件可设直线的方程为3x＋2y＋C＝0，把点B(1，－2)代入得C＝1，
所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0.
答案：(1)B (2)3x＋2y＋1＝0
例3 解析：(1)因为直线l1：ax－2y－3＝0的一个法向量恰为l2：4x＋6y－3＝0的一个方向向量，所以l1⊥l2，所以a×4＋(－2)×6＝0，解得：a＝3.
(2)方法一 由题意可设直线的方程为4x－3y＋C＝0，
将点D(6，－1)代入得C＝－27，
所以直线方程为4x－3y－27＝0.
方法二 由题意，直线的法向量是b＝(4，－3)，故直线的一个方向向量为(3，4)，
故直线的斜率k＝，
且直线过点D(6，－1)，故直线方程为y＋1＝(x－6)．
即4x－3y－27＝0.
答案：(1)3 (2)4x－3y－27＝0
巩固训练3 解析：(1)由题意得，k＝tan 120°＝－，
∴直线的一个方向向量为a＝(1，－)．
∴a⊥v，又v＝(m，m＋1)，
∴m－(m＋1)＝0解得m＝－.
(2)由条件可知向量(3，－5)为所求直线的一个法向量，
故可设直线的一般式方程为3x－5y＋C＝0，
将点A(1，2)代入得C＝7，
所以直线方程为3x－5y＋7＝0.
答案：(1)D (2)3x－5y＋7＝0