湘教版（2019）选择性必修 第一册2.4 点到直线的距离导学案

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册2.4 点到直线的距离导学案，共9页。

(2)会求两条平行直线间的距离．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 两点间的距离
已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.
要点二 点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0❷的距离d＝____________________．
要点三 两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，
B不全为0，且C1≠C2)之间的距离d＝.❸
批注❶ 公式可简记为“纵差方，横差方，加起来，开平方”．
批注❷ 给出的直线方程必须是一般式，不是一般式的，则应先化为一般式再利用公式求距离．
批注❸ 利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关．( )
(2)直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离是|C1－C2|.( )
(3)原点到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式是 .( )
(4)平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．( )
2．已知点A(3，7)，B(2，5)，则A，B两点间的距离为( )
A．5 B． C．3 D．
3．点(0，－1)到直线y＝x＋1的距离为( )
A．1 B．
C． D．2
4．已知两条直线l1：x＋2y－4＝0，l2：2x＋4y＋7＝0，则直线l1与直线l2间的距离为( )
A． B．
C． D．
5．已知点A(2，－1)到直线l：y＝2x＋t的距离为，则t＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1 两点间距离公式的应用
例1 (1)若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为________；
(2)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)、B(3，－3)、C(1，7)，试判断△ABC的形状．
方法归纳
1．利用两点间的距离公式求参数的值的方法
常用方法是待定系数法，即先设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立方程，再利用方程的思想求解参数．
2．利用两点间的距离公式判断三角形的方法
要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．
巩固训练1 (1)已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
(2)已知点M(x，－4)与点N(2，3)间的距离为7，求x的值．
题型2 点到直线的距离公式的应用
例2 (1)[2022·湖南长沙一中测试]已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A．B．2－
C．－1 D．＋1
(2)[2022·湖南师大附中测试]已知△ABC的顶点A(5，1)，边AB上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，边AC上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，
①求顶点C的坐标；
②求△ABC的面积．
方法归纳
点到直线距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|－b |.
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
巩固训练2 (1)已知点A(1，－2)，B(5，6)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________；
(2)垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程是________．
题型3 两条平行线间的距离问题
例3 (1)已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．[0，5]
C．(0，5] D．[0，]
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为____________．
方法归纳
解决两条平行直线间的距离问题的2种常用方法
巩固训练3 (1)[2022·湖南长郡中学测试]两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为( )
A．a＝6，d＝ B．a＝－6，d＝
C．a＝－6，d＝ D．a＝6，d＝
(2)若斜率为2的直线m被直线l1：x＋2y－3＝0与l2：x＋2y＋1＝0所截得的线段为AB，则线段AB的长为________．
题型4 对称问题(数学探究)
例4 已知点P，Q在直线l：3x－y－1＝0上．
(1)若点P到点A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大，求点P的坐标；
(2)若点Q到点A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小，求点Q的坐标．
方法归纳
利用对称性解决问题
(1)在直线上求一点，使它到两定点距离之和最小．
①当两定点不在直线的同一侧时，两点连线与直线的交点即为所求；
②当两定点在直线的同一侧时，可借助点关于直线对称，将问题转化为①的情形来解决．
(2)在直线上求一点，使它到两定点距离之差的绝对值最大．
①当两定点在直线的同一侧时，利用三角形的两边之差小于第三边，可知两定点的连线与直线的交点即为所求；
②当两定点不在直线的同一侧时，可借助点关于直线对称，将问题转化为①的情形来解决．
巩固训练4 若点P(m，0)到点A(－3，2)及B(2，8)的距离之和最小，求实数m的值．
易错辨析 选用直线方程的形式不当引发错误
例5 过点P(2，5)，且与点(－4，1)距离等于6的直线方程为________．
解析：当斜率存在时，设所求直线方程为y－5＝k(x－2)，即kx－y－2k＋5＝0，
由点到直线的距离公式得：＝6，解得k＝－，
故所求直线方程为5x＋12y－70＝0.
当斜率不存在时，直线平行于y轴，直线方程为x＝2，符合题意．
综上，所求直线方程为5x＋12y－70＝0或x＝2.
答案：5x＋12y－70＝0或x＝2
【易错警示】
2．4 点到直线的距离
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点二
(A，B不全为0)
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．解析：由两点间的距离公式得|AB|＝＝.
答案：B
3．解析：(0，－1)到直线y＝x＋1的距离为d＝＝.
答案：B
4．解析：因为两直线l1：x＋2y－4＝0，l2：2x＋4y＋7＝0平行，且l1：2x＋4y－8＝0，它们之间的距离即为l1：2x＋4y－8＝0与l2：2x＋4y＋7＝0之间的距离为：d＝＝.
答案：A
5．解析：因为点A(2，－1)到直线l：2x－y＋t＝0的距离为，所以d＝＝，可得|5＋t|＝5，解得t＝－10或t＝0.
答案：－10或0
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)设点M(x，0)(x>0)，由题意可知，＝，解得x＝.所以点M的坐标为(，0)．
(2)方法一 ∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
又|BC|＝＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法二 ∵kAC＝＝，
kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝＝2，
|AB|＝＝2，
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．
答案：(1)(，0) (2)见解析
巩固训练1 解析：(1)设点P的坐标为(x，0)，则有
|PA|＝＝，
|PB|＝ ＝.
由|PA|＝|PB|，
得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.
故所求点P的坐标为(－，0)．
|PA|＝ ＝.
(2)由|MN|＝7，
得|MN|＝＝7，
即x2－4x－45＝0，
解得x1＝9或x2＝－5.
故所求x的值为9或－5.
例2 解析：(1)由题意得＝1.解得a＝－1＋或a＝－1－.
∵a>0，∴a＝－1＋.
(2)①设C(m，n)，因为直线AC与直线BH垂直，且C点在直线2x－y－5＝0上，
所以，解得，故C(4，3)．
②设B(a，b)由题知：M()，
所以，解得，即B(－1，－3)．
kBC＝＝，直线BC：y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.
|BC|＝＝，
点A到直线BC的距离d＝＝，
所以S△ABC＝＝8.
答案：(1)C (2)见解析
巩固训练2 解析：(1)∵A(1，－2)，B(5，6)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，
∴＝，
解得a＝－2或a＝－1.
(2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，
则由点到直线的距离公式知：
d＝＝＝.
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
答案：(1)－2或－1 (2)3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0
例3 解析：(1)当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝＝5，∴0(2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，由题意，得＝，解得C＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
答案：(1)C (2)2x－y＋1＝0
巩固训练3 解析：(1)∵两直线平行，∴2＝，解得a＝6，
将2x－y＋3＝0化为6x－3y＋9＝0，
∴d＝＝.
(2)直线l1：x＋2y－3＝0与l2：x＋2y＋1＝0的斜率为－，
直线m的斜率为2，
故直线m与直线l1，l2垂直，
由两条平行直线的距离公式可得|AB|＝＝.
答案：(1)D (2)
例4 解析：
(1)如图所示，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，
∵kl·kBB′＝－1，即3×＝－1，
∴a＋3b－12＝0. ①
又线段BB′的中点坐标为()，且中点在直线l上，
∴3×－1＝0，即3a－b－6＝0. ②
由①②得a＝3，b＝3，∴B′(3，3)．
于是直线AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.
由解得
∴l与直线AB′的交点坐标为(2，5)，
∴当点P到点A，B的距离之差最大时，点P的坐标为(2，5)．
(2)如图所示，设点C关于l的对称点为C′，同样可以计算求得C′的坐标为()，
∴AC′所在直线的方程为＝，
即19x＋17y－93＝0，
由解得
∴直线AC′和l的交点坐标为()，
∴当点Q到点A，C的距离之和最小时，点Q坐标为()．
巩固训练4 解析：点A(－3，2)关于x轴的对称点为A′(－3，－2)．
因为点P(m，0)在x轴上，由对称性可知|PA|＝|PA′|，
所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|，
所以当A′，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|最小．
因为kA′B＝＝2，
所以直线A′B的方程为y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4.
令y＝0，得x＝－2，
即A′，P，B三点共线时，点P的坐标为(－2，0)，
所以所求实数m的值为－2.
出错原因
纠错心得
忽略了直线的斜率不存在的情况而漏解致错．
一般地，求直线方程，设为点斜式或斜截式是常见的两种形式．因此，一定要考虑斜率不存在而直线存在的形式．