湘教版（2019）2.5 圆的方程学案

这是一份湘教版（2019）2.5 圆的方程学案，共7页。学案主要包含了易错警示等内容，欢迎下载使用。

(1)从具体情境中抽象出圆，掌握圆的定义．
(2)会求圆的标准方程．
(3)能判断点与圆的位置关系．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 圆的标准方程
1．圆的定义：平面内到________的距离等于________的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．确定圆的要素是________和________，如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2❶.
特别地，圆心在原点(0，0)，半径为r的圆的方程为________________．
要点二 点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
批注❶ 方程中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(a，b，r∈R)表示一个圆．( )
(2)弦的垂直平分线必过圆心．( )
(3)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．( )
(4)圆心与切点的连线长是半径长．( )
2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )
A.(－2，3)，1 B．(2，－3)，3
C.(－2，3)， D．(2，－3)，
3．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( )
A.x2＋y2＝2
B.x2＋y2＝4
C.(x－2)2＋(y－2)2＝8
D.x2＋y2＝
4．点()与圆x2＋y2＝的位置关系是( )
A.点在圆上 B．点在圆内
C.点在圆外 D．不能确定
5．已知A(－1，0)，B(1，0)，则以AB为直径的圆的方程为____________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 直接法求圆的方程
例1 求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心为点(－2，1)，半径为；
(2)圆心为点(3，4)，且过坐标原点．
方法归纳
根据已知条件，写出圆心坐标和圆的半径，代入标准方程即可．
巩固训练1 圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝4
题型2 待定系数法求圆的方程
例2 已知圆C的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，求圆C的标准方程．
方法归纳
1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
2．本题还可以利用圆的几何性质求圆的方程：圆心必在线段AB的垂直平分线上．
巩固训练2 已知△ABC的三个顶点A(－2，0)，B(2，0)，C(6，4)，求其外接圆H的标准方程．
题型3 点与圆的位置关系
例3 已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5，6)，求圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1，8)，C(6，5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
方法归纳
根据条件求出圆的标准方程，利用点到圆心的距离与半径比较大小得出点与圆的位置关系．
巩固训练3 已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以点P(2，－1)为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程．
易错辨析 对圆心位置考虑不全致误
例4 已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴截得的线段AB的长为8，则圆的标准方程为( )
A．(x＋3)2＋y2＝25 B．x2＋(y±3)2＝25
C．(x±3)2＋y2＝5 D．(x±3)2＋y2＝25
解析：方法一 由题意知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，故|AO|＝4，在Rt△AOC中，|OC|＝ ＝ ＝3.
如图所示，有两种情况．
故圆心C的坐标为(－3，0)或(3，0)，故所求圆的标准方程为(x±3)2＋y2＝25.
方法二 ∵圆心在x轴上，半径为5，
∴设圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25.
∵圆在y轴上截得的线段长为8，
∴a2＋＝25，解得a＝±3，
∴所求圆的标准方程为(x±3)2＋y2＝25.
答案：D
【易错警示】
2．5 圆的方程
2．5.1 圆的标准方程
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．定点 定长
2．圆心 半径
3．x2＋y2＝r2
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．解析：由圆的标准方程可得圆心为(2，－3)，半径为.故选D.
答案：D
3．解析：以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.故选B.
答案：B
4．解析：因为＝1>，所以点在圆外．
答案：C
5．解析：以AB为直径的圆的圆心为AB中点O(0，0)，半径r＝|OA|＝1，∴所求圆的方程为x2＋y2＝1.
答案：x2＋y2＝1
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)由题意可得圆的标准方程：
(x＋2)2＋(y－1)2＝3.
(2)由题意可得圆的半径为：
＝5，
所以圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
巩固训练1 解析：因为圆心在y轴上，半径长为1，
所以可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，
因为圆过点A(1，2)，
所以1＋(2－b)2＝1，
解得b＝2，
所以圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
答案：A
例2 解析：方法一 设圆心为O(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意可得方程组，
解得a＝－1，b＝－2，r＝，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法二 因为A(2，－3)，B(－2，－5)，所以线段AB的中点为(0，－4)，
kAB＝＝，
所以线段AB的垂直平分线方程为y＝－2x－4，
由，得，
所以圆C的圆心坐标为(－1，－2)，
所以圆的半径为r＝＝，
所以圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
巩固训练2 解析：方法一 设△ABC外接圆H的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
解得a＝0，b＝6，r＝2，
故△ABC的外接圆的标准方程为x2＋(y－6)2＝40.
方法二 由题意得，AB中点为(0，0)，
BC中点为(4，2)，kBC＝＝1，
∴线段AB中垂线方程为x＝0；
线段BC中垂线方程为y－2＝－(x－4)，即x＋y－6＝0；
由得，即△ABC外接圆圆心H(0，6)，
∴外接圆半径r＝|AH|＝＝2，
∴△ABC外接圆H的标准方程为x2＋(y－6)2＝40.
例3 解析：解方程组得
∴圆心M的坐标为(0，1)．半径r＝|MP|＝＝5.
∴圆M的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.
∵|AM|＝＝∴点A在圆内，
∵|BM|＝＝＝r，
∴点B在圆上．
∵|CM|＝＝>r，
∴点C在圆外．
综上，圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50，点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．
巩固训练3 解析：要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|，|PB|，|PC|的中间值．
因为|PA|＝，|PB|＝，|PC|＝5，
所以|PA|<|PB|<|PC|，
所以圆的半径r＝|PB|＝，
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13.位置关系
判断方法
几何法
代数法
点在圆上
|MA|＝r⇔点M在圆A上
点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内
|MA|＜r⇔点M在圆A内
点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
点在圆外
|MA|＞r⇔点M在圆A外
点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
出错原因
纠错心得
方法一中在求出|OC|＝3后，易错误地得出C(3，0)，漏掉圆心在x轴负半轴上的情况．
在解析几何中，涉及距离问题时，一定要加绝对值，否则容易漏解．