新教材2023版高中数学第2章平面解析几何初步章末复习课学案湘教版选择性必修第一册

这是一份新教材2023版高中数学第2章平面解析几何初步章末复习课学案湘教版选择性必修第一册，共6页。

章末复习课知识网络·形成体系　考点聚焦·分类突破考点一　直线方程的求法及应用(1)求直线方程的一种重要方法就是待定系数法．运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．(2)通过对直线方程的学习，提升学生的数学建模、数学运算素养．例1　在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2)．(1)若点C的坐标为(1，0)，求AB边上的高所在的直线方程；(2)若M(1，1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程．考点二　两条直线的位置关系(1)解决此类问题的关键是掌握两条直线平行与垂直的判定：若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．对于两条直线平行的问题，要注意排除两条直线重合的可能性．(2)通过对两直线平行与垂直的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．例2　(1)已知直线l1：ax＋y＋1＝0与直线l2：x＋(2a－3)y＋5＝0垂直，则a＝(　　)A．3 B．2C．1 D．－1(2)(多选)若直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与直线 l2：x＋ay＋1＝0平行，则a＝(　　)A．2或－1 B．－2或1C．2 D．－1考点三　距离问题(1)解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合．三种距离是高考考查的热点，公式如下表：(2)通过对距离问题的学习，提升学生的数学运算素养．例3　(1)直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程；(2)已知直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，且点A(3，1)到它的距离为，求直线l的方程．考点四　有关圆的问题角度1　求圆的方程(1)求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题．(2)通过对圆的方程的求解，提升学生的数学运算素养．例4　[2022·湖南怀化测试]已知圆C的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆C的标准方程为________________．角度2　直线与圆、圆与圆的位置关系(1)圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等．充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量．另外，对于未给出图形的题目，要边解题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路．(2)通过对直线与圆、圆与圆的位置关系的学习，提升学生的直观想象、数学运算素养．例5　(1)[2022·湖南师大附中测试]圆C：(x－2)2＋y2＝4, 直线l1：y＝x，l2：y＝kx－1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2，则k的值为________；(2)[2022湖南·长郡中学测试](多选)已知曲线C的方程为＝|x＋2y|，圆M：(x－5)2＋y2＝r2(r>0)，则(　　)A．C表示一条直线B．当r＝4时，C与圆M有3个公共点C．当r＝2时，存在圆N，使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点D．当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是(4，＋∞)角度3　与圆有关的最值问题(1)与圆有关的最值问题包括：①求圆O上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离：dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；②求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝|m－r|；③已知点的运动轨迹方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求①；②；③x2＋y2等式子的最值，一般是运用几何法求解．(2)通过对圆中最值问题的掌握，提升学生的直观想象、逻辑推理素养．例6　(1)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点，则的最大值________；最小值为________；(2)[2022·湖南益阳模拟]已知圆O：x2＋y2＝1，A(3，3)，点P在直线l：x－y＝2上运动，则|PA|＋|PO|的最小值为________．章末复习课考点聚焦·分类突破例1　解析：(1)∵A(0，1)，B(3，2)，∴kAB＝＝，由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k＝－3，∴AB边上的高所在的直线方程为y－0＝－3(x－1)，化为一般式可得3x＋y－3＝0.(2)∵M(1，1)为AC的中点，A(0，1)，∴C(2，1)，∴kBC＝＝1，∴边BC所在的直线方程为y－1＝x－2，化为一般式可得x－y－1＝0.例2　解析：(1)由题意，得a＋2a－3＝0，所以a＝1.故选C.(2)因为直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与直线l2：x＋ay＋1＝0平行，所以，解得a＝－1.答案：(1)C　(2)D例3　解析：(1)当直线过原点时，设所求直线方程为kx－y＝0，则＝3.解得k＝±－6，∴y＝(±－6)x.当直线不经过原点时，设所求直线方程为x＋y＝a，则＝3，解得a＝13或a＝1，∴x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.综上，所求直线方程为y＝(±－6)x或x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.解析：(2)当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，即kx－y＝0.由题意知＝，解得k＝1或k＝－.所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0.当直线不经过原点时，设所求直线的方程为＝1，即x－y－a＝0.由题意知＝，解得a＝4或a＝0(舍去)．所以所求直线的方程为x－y－4＝0.综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x－y－4＝0.例4　解析：圆C的圆心在直线x－2y－3＝0上，令C(2m＋3，m)，半径为r，∴圆C的方程为(x－2m－3)2＋(y－m)2＝r2，又A(2，－3)，B(－2，－5)两点在圆C上，有解得，有C(－1，－2)，所以圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝10例5　解析：(1)圆心(2，0)到直线l1：y＝x的距离d＝＝，则圆被直线l1截得的弦长＝2＝2＝2，由题意可知圆被直线l2截得的弦长是4，而圆的直径就是4，所以直线l2过圆心，即2k－1＝0，解得：k＝.解析：(2)由＝|x＋2y|，得x2＋y2＝|x＋2y|2＝x2＋4xy＋4y2，即y(4x＋3y)＝0，则C表示两条直线，其方程分别为y＝0与4x＋3y＝0，所以A错误；因为M(5，0)到直线4x＋3y＝0的距离d＝＝4，所以当r＝4时，直线4x＋3y＝0与圆M相切，易知直线y＝0与圆M相交，C与圆M有3个公共点，所以B正确；当r＝2时，存在圆N，使得圆M内切于圆N，且圆N与这两条直线都相交，即与C有4个公共点，C与圆M的公共点的个数的最大值为4，所以C正确；当r＝5时，圆M与直线y＝0、 4x＋3y＝0交于一点，所以公共点的个数为3，所以D错误．答案：(1)　(2)BC例6　解析：(1)方法一　设k＝，则y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.∵P(x，y)为圆C上任一点，∴圆心(－2，0)到直线kx－y＋2－k＝0的距离d＝＝≤1，即|2－3k|≤，平方得到8k2－12k＋3≤0，解得≤k≤，故的最大值为，最小值为.方法二　可看作圆上的点(x，y)与点(1，2)连线的斜率．令k＝，则y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.当直线kx－y＋2－k＝0与圆相切时，k取得最大值和最小值，此时＝1，解得k＝.故的最大值为，最小值为.解析：(2)由于点A与点O在直线l：x－y＝2的同侧，设点O关于直线l：x－y＝2的对称点为O′(x′，y′)，∵kOO′＝－1，∴OO′所在直线方程为y＝－x，联立，解得，即OO′的中点为(1，－1)，∴O′(2，－2)，则|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PO′|≥|AO′|＝＝.答案：(1)　(2)类型已知条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|＝点到直线的距离P(x0，y0)l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) d＝A2＋B2两平行直线的距离l1：Ax＋By＋C1＝0l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0，C1≠C2)d＝