数学第3章 圆锥曲线与方程3.2 双曲线学案

这是一份数学第3章 圆锥曲线与方程3.2 双曲线学案，共9页。

(2)掌握双曲线的渐近线及离心率的意义．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点 双曲线的几何性质
批注❶ 双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线．
批注❷ 由于＝＝＝，因此e越大，渐近线的斜率的绝对值就越大，双曲线的开口就越大．
批注❸ 双曲线的渐近线决定了双曲线的形状．由双曲线的对称性可知，当双曲线的两支向外无限延伸时，双曲线与两条渐近线无限接近，但永远不会相交．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．( )
(2)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条．( )
(3)方程＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.( )
(4)离心率e越大，双曲线＝1的渐近线的斜率绝对值越大．( )
2．双曲线－x2＝1的实轴长为( )
A．2 B．4
C． D．
3．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是( )
A．x2－＝1
B．y2－＝1
C．＝1或＝1
D．x2－＝1或y2－＝1
4．双曲线－y2＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
5．双曲线9y2－16x2＝144的离心率e＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 由双曲线的方程研究双曲线的性质
例1 求双曲线4x2－9y2＝－4的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
方法归纳
已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．
巩固训练1 [2022·河北石家庄测试](多选)已知双曲线方程为x2－＝1，则下列叙述正确的是( )
A．焦点F(±1，0)
B．渐近线方程：y＝±x
C．离心率为
D．实轴长为2
题型2 由双曲线的几何性质求其标准方程
例2 (1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P(，2)，求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程；
(3)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦距为10，求双曲线的标准方程．
方法归纳
用待定系数法求双曲线标准方程的4种方法
巩固训练2 (1)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
(2)焦点为(0，6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________．
题型3 求双曲线的离心率
例3 (1)[2022·湖南雅礼中学测试]已知双曲线＝1(a＞)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为( )
A． B．2 C．或2 D．
(2)[2022·湖南长沙一中测试]已知F1，F2是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点N在双曲线上，则双曲线C的离心率为( )
A.4＋2 B．－1
C．D．＋1
方法归纳
求双曲线离心率的2种常用方法
巩固训练3 (1)[2022·湖南岳阳一中测试]已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线的斜率之积等于－4，则双曲线C的离心率为( )
A. B． C． D．
(2)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．
题型4 直线与双曲线的位置关系
例4 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝kx－1，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
方法归纳
直线与双曲线位置关系的判断方法
巩固训练4 直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B，则实数k的取值范围为________．
易错辨析 忽略对焦点所在轴的讨论致误
例5 已知双曲线的渐近线方程是y＝±x，焦距为2，求双曲线的标准方程．
解析：当双曲线的焦点在x轴上时，由解得所以所求双曲线的标准方程为＝1.
当双曲线的焦点在y轴上时，由
解得所以所求双曲线的标准方程为＝1.
故所求双曲线的标准方程为＝1或＝1.
【易错警示】
3．2.2 双曲线的简单几何性质
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
坐标轴 原点 2a 2b a b
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：由题知a2＝4，∴双曲线的实轴长为2a＝4.
答案：B
3．解析：由题意知2a＝2，2b＝4，
∴a＝1，b＝2，∴a2＝1，b2＝4，
又双曲线的焦点位置不确定，故选D.
答案：D
4．解析：由双曲线方程得a＝，b＝1，∴渐近线方程为y＝±x＝±x.故选B.
答案：B
5．解析：双曲线9y2－16x2＝144可化为＝1.
∴a2＝16，b2＝9，
∴离心率为：e＝＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：双曲线方程可化为－x2＝1，
则双曲线焦点在y轴上，a2＝，b2＝1，∴c2＝＋1＝，
∴a＝，b＝1，c＝，
∴顶点坐标为(0，±)；焦点坐标为(0，±)；实轴长为2a＝；虚轴长为2b＝2；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x＝±x.
巩固训练1 解析：由题意，双曲线x2－＝1，可得a＝1，b＝，则c＝＝，
所以双曲线的焦点坐标为F(±，0)，所以A不正确；
渐近线方程为y＝±x＝±x，所以B正确；
离心率为e＝＝，所以C不正确；
实轴长为2a＝2，所以D正确．
答案：BD
例2 解析：(1)设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，由题意知＝.
又∵双曲线过点P(，2)，∴＝1，
依题意可得解得
故所求双曲线方程为y2－x2＝1.
(2)双曲线＝1的焦点为(±2，0)，
可设所求双曲线的方程为
＝1(a，b＞0)，
由题意可得c＝2，即a2＋b2＝20，
将点(3，2)代入双曲线方程可得，
＝1，
解得a2＝12，b2＝8，
即有所求双曲线的方程为
＝1.
解析：(3)方法一 当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为＝1，由渐近线方程为y＝±x得＝，2c＝10，
由c2＝a2＋b2得a2＝20，b2＝5.
∴双曲线方程为＝1.
同理，当焦点在y轴上时，可得双曲线方程为＝1.
即所求双曲线方程为＝1或＝1.
方法二 由渐近线方程为y＝±x可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，即＝1.
由a2＋b2＝c2得|4λ|＋|λ|＝25，即λ＝±5.
∴所求双曲线方程为＝1或＝1.
巩固训练2 解析：(1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，)，所以＝，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－＝1，故选D.
(2)由－y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±x.设双曲线方程为－y2＝λ(λ<0)，
∴＝1，∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12.
故双曲线方程为＝1.
答案：(1)D (2)＝1
例3 解析：(1)依题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x，因两条渐近线的夹角为，
于是得直线y＝x的倾斜角是或，即＝tan 或＝tan ，解得a＝或，而a＞，则a＝，
又b＝，则有c＝2，所以双曲线的离心率e＝＝.
(2)依题意知，若双曲线焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，
∴|F1F2|＝2c，则△MF1F2的高为c，即M(0，c)，
∴N(－c)，代入双曲线方程：＝1，整理得b2c2－3a2c2＝4a2b2，
∵b2＝c2－a2，
∴c4－a2c2－3a2c2＝4a2c2－4a4，两边同除以a4，整理得e4－8e2＋4＝0，得e2＝4±2，
∵e＞1，∴e＝＋1.
答案：(1)A (2)D
巩固训练3 解析：(1)因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
所以(－)×＝－4，即a＝2b，
所以c＝b，所以e＝＝.
(2)不妨设焦点F(c，0)，虚轴的端点B(0，b)，则kFB＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直得－·＝－1(斜率为－的直线显然不符合)，即b2＝ac.
又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝(负值舍去)．
答案：(1)A (2)
例4 解析：由，得(1－k2)x2＋2kx－5＝0. ①
(1)直线与双曲线有两个公共点，则①式方程有两个不相等的根．
∴，解得－＜k＜且k≠±1，故k的取值范围为(－，－1))．
(2)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解．
当1－k2＝0即k＝±1时，①式方程只有一解；
当解得k＝±，
故k的值为±1或±.
解析：(3)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解．
∴解得k＞或k＜－.
则k的取值范围为(－∞，－，＋∞)．
巩固训练4 解析：联立方程组
得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0，
则
解得－2答案：(－2，－)标准方程
＝1(a>0，b>0)
＝1(a>0，b>0)
图形
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
性质
范围❶
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：________；对称中心：________
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：________；虚轴：线段B1B2，长：________；半实轴长：________，半虚轴长：________
离心率❷
e＝∈(1，＋∞)
渐近线❸
y＝±x
y＝±x
出错原因
纠错心得
误认为焦点一定在x轴上，得到答案：＝1，而漏掉焦点在y轴上的情况．
当题目条件没有明确双曲线的焦点所在轴时，应分两种情况进行讨论．同时注意两种情况下，渐近线方程是有区别的：焦点在x轴上时，渐近线方程为y＝±x；焦点在y轴上时，渐近线方程为y＝±x.