高中数学第3章 圆锥曲线与方程3.3 抛物线导学案

这是一份高中数学第3章 圆锥曲线与方程3.3 抛物线导学案，共7页。

(2)掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点 抛物线的简单几何性质
批注❶ 椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，所以在画抛物线时切忌将其画成双曲线的一支的形式．
批注❷ 抛物线、椭圆和双曲线都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形．
批注❸ 顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)抛物线x2＝2py(p>0)有一条对称轴为y轴．( )
(2)抛物线y＝－x2的准线方程是x＝.( )
(3)抛物线是中心对称图形．( )
(4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( )
2．对抛物线y＝x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0，2)
B．开口向上，焦点为(0，)
C．开口向右，焦点为(2，0)
D．开口向右，焦点为(，0)
3．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( )
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝±8y D．x2＝±16y
4．过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
5．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝4，则|PQ|＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 由抛物线的几何性质求标准方程
例1 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
方法归纳
用待定系数法求抛物线方程的步骤
巩固训练1 边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
题型2 直线与抛物线的位置关系
例2 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有：
(1)一个公共点；
(2)两个公共点；
(3)没有公共点．
方法归纳
判断直线与抛物线的位置关系通常使用代数法：将直线的方程与抛物线的方程联立，整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，利用判别式解决：
Δ＞0⇒相交；Δ＝0⇒相切；Δ＜0⇒相离．
(2)当a＝0时，方程只有一解x＝－，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合．
巩固训练2 过点M(3，2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
题型3 抛物线的焦点弦问题
例3 [2022·湖南平江一中高二期末]已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若|AB|＝8，求k的值．
方法归纳
求直线与抛物线相交弦长的2种方法
巩固训练3 (1)过拋物线C：y2＝4x的焦点F作斜率为1的直线l，交抛物线C于A，B两点，则弦长|AB|＝( )
A．3 B．8 C．9 D．12
(2)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(，0)，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝4，则弦AB的中点到y轴的距离为( )
A． B．2 C．3 D．4
易错辨析 忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况致误
例4 (多选)过定点P(－1，1)且与抛物线y2＝2x只有一个交点的直线l的方程为( )
A．y＝－1
B．y＝1
C．(－1)x－2y＋＋1＝0
D．(1＋)x＋2y＋－1＝0
解析：(1)当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．
(2)当直线l的斜率存在时，
①若直线l与抛物线的对称轴平行，则直线l的方程为y＝1，此时直线l与抛物线只有一个公共点．
②若直线l与抛物线的对称轴不平行，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)(k≠0)
即y＝k(x＋1)＋1(k≠0)
由消去x，得ky2－2y＋2k＋2＝0，
由题意知Δ＝4－4k(2k＋2)＝0，解得k＝
故所求直线l的方程为：
(－1)x－2y＋＋1＝0或(1＋)x＋2y＋－1＝0，
综上所述，所求直线l的方程为y＝1或(－1)x－2y＋＋1＝0或(1＋)x＋2y＋－1＝0.
答案：BCD
【易错警示】
3．3.2 抛物线的简单几何性质
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：由题知，该抛物线的标准方程为x2＝8y，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为(0，2)．
答案：A
3．解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.
答案：D
4．解析：因点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点．
答案：B
5．解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6.
答案：6
题型探究·课堂解透
例1 解析：方法一 由抛物线开口方向向下，可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)．
因为M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
所以解得
所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
方法二 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)，准线l：y＝，如图所示，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，所以3＋＝5，即p＝4.
又因为点M在抛物线上，所以m2＝24，所以m＝±2.
所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
巩固训练1 解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
又A(±)(取点A在x轴上方)，
则有＝±a，解得a＝±，
所以抛物线方程为y2＝±x.
答案：C
例2 解析：由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. (*)
当k＝0时，方程变为－4x＋1＝0，x＝，此时y＝1.
∴直线l与C只有一个公共点(，1)，此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程，其中
Δ＝(2k－4)2－4k2×1＝16－16k，
①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时l与C相交；
②当Δ＝0时，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述：(1)当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个公共点；
(2)当k＜1，且k≠0时，直线l与C有两个公共点；
(3)当k＞1时，直线l与C没有公共点．
巩固训练2 解析：经验证点M(3，2)在抛物线开口内部，结合函数图象，可知
过点M(3，2)与抛物线只有一个交点的直线只有一条，即过M平行与x轴的直线，即y＝2.
答案：B
例3 解析：(1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，
由|PF|＝2得：1＋＝2，得p＝2.
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⇒k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
Δ＝16k2＋16＞0.
∴x1＋x2＝，
∵直线l经过抛物线C的焦点F，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
解得：k＝±1，
所以k的值为1或－1.
巩固训练3 解析：(1)由题设，F(1，0)，则直线l为y＝x－1，联立抛物线得y2－4y－4＝0，∴yA＋yB＝4，yAyB＝－4，则|yA－yB |2＝(yA＋yB)2－4yAyB＝32，
∴|AB|＝·|yA－yB|＝8.
(2)∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(，0)，
所以p＝1，抛物线方程为y2＝2x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义得，|AB|＝x1＋x2＋p，
所以4＝x1＋x2＋1，即x1＋x2＝3，
所以弦AB的中点到y轴的距离为d＝＝.
答案：(1)B (2)A标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
性质
焦点
(，0)
(－，0)
(0，)
(0，－)
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围❶
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴❷
x轴
y轴
顶点❸
(0，0)
离心率
e＝1
出错原因
纠错心得
本题易错的地方是只考虑直线l的斜率k存在且不为0时的情形，而忽略k不存在及直线l平行于抛物线的对称轴这两种情形．
在涉及直线与抛物线只有一个交点的问题时，应提防两处陷阱：一是直线与对称轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，这是由Δ＝0无法得到的(事实上，此时消元后对应的“一元二次”方程的“二次”项系数一定为零)；二是若由Δ＝0仅得到一条直线，则意味着斜率不存在的直线可能与抛物线相切(仅有一个交点)，应检验斜率不存在的直线是否满足条件．