湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用导学案及答案

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用导学案及答案，共8页。

(1)了解圆锥曲线的光学性质．
(2)通过圆锥曲线在现实生活中的应用，培养解决应用问题的能力．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 天体运动的轨道
牛顿根据开普勒定律得出了万有引力定律，人们按照万有引力定律可以推出，太阳系的行星每时每刻都环绕太阳在________轨道上运行，而某些天体的运行速度若增大到某种程度，它就会沿________或________运行．
要点二 斜抛物体的轨迹
运动场上推出的铅球、投出的篮球，都是斜抛物体，它们的运动轨迹近似于抛物线．喷水池里喷出的水柱中的每一部分水也可以看作斜抛物体，水柱的形状也接近于抛物线．
要点三 圆锥曲线的光学性质及其应用
(1)椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．
椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．
(2)双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．
双曲线的这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．
(3)抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴．
抛物线的这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择，例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通信像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中得到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)汽车大灯的反射镜面是双曲线．( )
(2)电影放映机的反光镜镜面是椭圆. ( )
(3)天文望远镜：哈勃望远镜镜面是抛物线．( )
(4)中国天眼：世界最大的单口径射电望远镜镜面是抛物线．( )
2．在相距1 400 m的A，B两哨所，哨兵听到炮弹爆炸声的时间相差3 s，已知声速是340 m/s，则炮弹爆炸点所在的曲线是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
3．如图，“天宫三号”的运行轨道是以地心(地球的中心)F为其中一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的距离)距离地面n千米，并且F，A，B在同一条直线上，地球的半径为R千米，则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为( )千米
A．2mn B．
C．mn D．2
4．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行．如下图所示，沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝2px(p>0)反射后，与x轴相交于点A(2，0)，则该抛物线的焦点到准线的距离为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1 椭圆在实际中的应用
例1 有一幅椭圆形彗星轨道图，长4 cm，高2cm.如图所示，已知O为椭圆中心，A1，A2是椭圆长轴的两端点，太阳位于椭圆的左焦点F处．试建立恰当的坐标系，求出椭圆方程，并求当彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离．
方法归纳
在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个是远地点，这两点到恒星的距离一个是a－c，另一个是a＋c.
巩固训练1 如图，“神州十三号”载人飞船的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e.设地球半径为r，该飞船远地点离地面的距离为R，则该卫星近地点离地面的距离为________．
题型2 双曲线在实际中的应用
例2 双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足∠BAD＝90°，tan∠ABC＝－，则该双曲线的离心率为( )
A． B．C． D．
方法归纳
将实际问题转化为双曲线问题，结合双曲线的定义与性质解决问题．
巩固训练2 (多选)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C不是共渐近线的有( )
A．－x2＝1 B．＝1
C．－x2＝1 D．＝1
题型3 抛物线在实际中的应用
例3 某河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9 m，拱圈内水面宽30 m，一条船在水面以上部分高7 m，船顶部宽6 m.
(1)试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
(2)近日由于水位暴涨了2.46 m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少？(精确到0.1 m)
方法归纳
将实际问题转化为抛物线问题，结合抛物线的定义、方程与性质解决问题．
巩固训练3 一种卫星接收天线如图(1)所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点F处，如图(2)所示．已知接收天线的口径AB为4.8 m，深度为1 m．若P为接收天线上一点，则点P与焦点F的最短距离为( )
A．0.72 mB．1.44 m
C．2.44 mD．2.88 m
3．5 圆锥曲线的应用
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
椭圆 抛物线 双曲线
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．解析：设点M是炮弹爆炸点所在的曲线上任意一点，
则＝3×340＝1 020<1 400，所以炮弹爆炸点所在的曲线是双曲线．
答案：B
3．解析：由题设条件可得＝n＋R，＝R＋m，
设椭圆的半长轴长为a，半焦距为c，则a＋c＝n＋R，a－c＝R＋m，
故短半轴长为b＝＝，
所以短轴长为2.
答案：D
4．解析：依题意，A(2，0)为该抛物线的焦点，则＝2，得p＝4.
∴该抛物线的焦点到准线的距离为4.
答案：4
题型探究·课堂解透
例1
解析：建立如图所示的坐标系，设椭圆方程为＝1(a>b>0)．
依题意有2a＝4，2b＝2，
所以a＝2，b＝，c＝1，
故椭圆方程为＝1，F为(－1，0)，
将x＝－1代入椭圆方程得y＝±，
即彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离为1.5 cm.
巩固训练1 解析：由题设，若椭圆轨道对应方程为＝1且a>b>0，
椭圆的几何性质知，则，
又近地点离地面的距离为a－c－r＝－r＝.
答案：
例2 解析：易知F1，A，D共线，F1，B，C共线，如图，
设＝m，＝n，则m－n＝2a，
由tan ∠ABC＝－得＝，
又∠F1AB＝∠F2AD＝90°，
所以tan ∠ABF1＝＝＝m，
所以＝＝m－n，
所以＝2a＋＝2a＋m－n＝4a＋m，
由2＋2＝2得m2＋2＝2，
因为m>0，故解得m＝3a，
则n＝3a－2a＝a，
在△AF1F2中，m2＋n2＝(2c)2，即9a2＋a2＝4c2，所以e＝＝.
答案：C
巩固训练2 解析：依题意可知M(，4)，N(，－2)，
将M、N的坐标分别代入＝1，
得，解得a2＝3，b2＝9，
所以双曲线C的方程为＝1，其渐近线为y＝±x，
对于A，－x2＝1，其渐近线为y＝±x，不符合题意，
对于B，＝1，其渐近线为y＝±x，符合题意，
对于C，－x2＝1，其渐近线为y＝±2x，符合题意，
对于D，＝1，其渐近线为y＝±x，符合题意．
答案：BCD
例3 解析：(1)设抛物线型拱桥与水面两交点分别为A，B，
以AB垂直平分线为y轴，拱圈最高点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则A(－15，－9)，B(15，－9)，
设拱桥所在的抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，
因点A(－15，－9)在抛物线上，代入解得2p＝25，
故拱桥所在的抛物线方程是x2＝－25y；
解析：(2)因x2＝－25y，故当x＝3时，y＝－0.36，
故当水位暴涨2.46 m后，船身至少应降低7＋2.46－(9－0.36)＝0.82，
因精确到0.1 m，
故船身应降低0.9 m，才能安全通过桥洞．
巩固训练3 解析：在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，
焦点在x轴上，如图所示
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由题知点A(1，2.4)在抛物线方程上，
所以2.42＝2p，解得p＝2.88.
则点P与焦点F的最短距离为＝1.44.
答案：B