湘教版（2019）选择性必修 第一册3.4 曲线与方程学案

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册3.4 曲线与方程学案，共7页。


本章自我梳理：







考点聚焦·分类突破
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
(1)解决这类问题的关键是准确把握圆锥曲线的定义和标准方程．
(2)通过对圆锥曲线的定义与标准方程的学习，提升学生的直观想象、数学运算素养．
例1 (1)[2022·湖南武冈二中测试]F1、F2分别是双曲线＝1的左、右焦点，过F1的直线分别交该双曲线的左、右两支于A、B两点，若AF2⊥BF2，＝，则＝( )
A．2 B．2 C．4 D．4
(2)设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为( )
A．2B．4C．4 D．6
(3)[2022·湖南永州测试]已知F是抛物线y2＝4x的焦点，若A，B是该抛物线上的两点，且＝6，则线段AB的中点到直线x＝－的距离为( )
A．2 B．C．3 D．
考点二 圆锥曲线的几何性质
(1)分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键．
(2)通过对圆锥曲线几何性质的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例2 (1)[2022·湖南长郡中学月考]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，若＝2，则C的离心率为( )
A．B．C．2 D．4
(2)[2022·湖南岳阳一中测试]已知椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从F1，F2，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为( )
A．B．C．D．
(3)一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36，那么a＝________．
考点三 直线与圆锥曲线的综合问题
角度1 定点问题
(1)求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对变量的任意一个值都成立，这时变量的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
(2)通过对圆锥曲线中的定点问题的学习，提升学生的数学建模、逻辑推理、数学运算素养．
例3 已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|＝2.
(1)求E的方程；
(2)设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y＝x－3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点．
角度2 定值问题
(1)解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值和题目中的变量无关，始终是一个确定的值，对于定值问题常见的解题模板有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再研究一般情况．同时，要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题的方法，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等．
(2)通过对圆锥曲线中的定值问题的学习，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算素养．
例4 [2022·湖南名校联考测试]设点P为双曲线E：＝1(a>0，b>0)上任意一点，双曲线E的离心率为，右焦点与椭圆G：＝1(t>0)的右焦点重合．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)过点P作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点A，B，求证：平行四边形OAPB的面积为定值，并求出此定值．
角度3 最值问题
(1)构建关于变量的目标函数，转化为求函数的值域或最值，常利用二次函数的相关知识或基本不等式求解．面积、弦长、含变量的代数式的最值问题，常选用此法，解决问题时要注意自变量的取值范围．
(2)通过对圆锥曲线中的最小问题的学习，提升学生的数学建模、逻辑推理、数学运算素养．
例5 [2022·湖南师大附中测试]设椭圆M：＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，t)(t>0)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．
章末复习课
考点聚焦·分类突破
例1 解析：(1)由双曲线的定义可得，＝2a，＝2a，
因为＝，所以＝2a，
所以＝4a，即＝4a，
因为AF2⊥BF2，
所以2＋2＝2，所以22＝2＝16a2，
由＝1，得a2＝2，
所以22＝2＝16a2＝32，得＝4，
(2)易知a2＝，b2＝6，所以c2＝a2－b2＝，a＝，即c＝，
由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝7，又因为|PF1|∶|PF2|＝4∶3，
所以|PF1|＝4，|PF2|＝3，又＝2c＝5，
所以△PF1F2为直角三角形，所以＝×3×4＝6.
(3)∵F是抛物线y2＝4x的焦点，F(1，0)，准线方程x＝－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
∴|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝6，即x1＋x2＝4，
∴线段AB的中点横坐标为(x1＋x2)＝2，
∴线段AB的中点到直线x＝－的距离为2＋＝.
答案：(1)C (2)D (3)B
例2 解析：(1)设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
又由已知圆的方程可得圆心为M(0，2)，半径r＝2，
设圆心M到渐近线的距离为d，则|AB|＝2＝2＝2，
所以d＝＝，即1＝，所以e＝2.
(2)结合椭圆的对称性，只需要考虑三种情况：
图1
图2
图3
第一种，如图1，若以D，C，F2作为直角三角形的三个顶点，则DC⊥CF2，
由勾股定理可得：(a2＋b2)＋a2＝(a＋c)2，将b2＝a2－c2代入可得c2＋ac－a2＝0，
所以e2＋e－1＝0，因为0第二种，如图2，若以C，F1，F2作为直角三角形的三个顶点，则CF1⊥CF2，
所以∠OCF2＝45°，则e＝＝，
第三种，如图3，若以C，A，F2作为直角三角形的三个顶点，则CF2⊥AF2，
所以∠CF2O＝45°，e＝＝，
综上所述：椭圆M的离心率的可能取值为或，
故选项A正确．
解析：(3)由题意可得，正三角形的另外两个顶点关于x轴对称，
设其它两个顶点的坐标分别为，
把顶点代入抛物线方程可得t2＝ta，解得a＝t，
正三角形的边长为t，
故这个正三角形的面积＝36，
解得t＝±6，a＝±2.
答案：(1)C (2)A (3)±2
例3 解析：(1)根据题意知，4＝2py0， ①
因为|AF|＝2，所以y0＋＝2. ②
联立①②解得y0＝1，p＝2.所以E的方程为x2＝4y.
(2)证明：设B(x1，y1)，M(x2，y2)
由题意，可设直线BM的方程为y＝kx＋b，代入x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b. ③
由MP⊥x轴及点P在直线y＝x－3上，得P(x2，x2－3)，
则由A，P，B三点共线，得＝，
整理，得(k－1)x1x2－(2k－4)x1＋(b＋1)x2－2b－6＝0.
将③代入上式并整理，得(2－x1)(2k＋b－3)＝0.
由点B的任意性，得2k＋b－3＝0，所以y＝kx＋3－2k＝k(x－2)＋3.即直线BM恒过定点(2，3)．
例4 解析：(1)
则a＝1，b＝，c＝.
所以双曲线E的标准方程为x2－＝1.
(2)设P点坐标为(x0，y0)，过P与渐近线平行的直线分别为l1，l2，
方程分别为y－y0＝(x－x0)，y－y0＝－(x－x0)，
联立方程，得，
同理可得得，
又渐近线方程为y＝±x，则sin ∠AOB＝，
|OA|2|OB|2sin 2·＝，
又点P在双曲线上，则＝2，
所以＝，即平行四边形OAPB的面积为定值，且此定值为.
例5 解析：(1)双曲线的离心率为，
则椭圆的离心率为e＝＝，2a＝4，
由⇒，故椭圆M的方程为＝1.
解析：(2)由，得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
由Δ＝(2m)2－16(m2－4)＞0，得－2＜m＜2，
∵x1＋x2＝－m，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝·，
因为P(1，t)(t>0)为椭圆M上一点，所以P(1，)，
又P到AB的距离为d＝.
则S△PAB＝|AB|d＝··＝＝·＝，
当且仅当m＝±2∈(－2，2)时取等号，
∴(S△PAB)max＝.