高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第4章 计数原理4.2 排列导学案

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第4章 计数原理4.2 排列导学案，共6页。学案主要包含了易错警示等内容，欢迎下载使用。

(1)通过实例，理解排列的概念，能利用计数原理推导排列数公式．
(2)能解决简单的实际问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 排列
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，按照一定的顺序❶排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
要点二 排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，所有________________叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数❷，用符号__________表示．
要点三 排列数公式及性质
＝________________＝________(m≤n)．
＝n！，0！＝1.
批注❶ 就是说与位置有关，在实际问题中，究竟何时有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．
批注❷ “排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个正整数；“排列”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它是指具体的排法．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．( )
(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )
(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( )
(4)由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数．( )
2．(多选)下列问题中是排列问题的是( )
A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组
B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动
C．从a，b，c，d四个字母中取出2个字母
D．从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数
3．＝( )
A．30 B．24 C．20 D．15
4．90×91×92×…×100可以表示为( )
A．B．C．D．
5．从1，2，3中任取两个数字组成不同的两位数有________个．
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题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 排列的概念
例1 判断下列问题是不是排列问题：
(1)某班共有50名学生，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？
(2)从2，3，5，7，9五个数字中任取两个数分别作为对数的底数和真数，共有多少个不同的对数值？
(3)有12个车站，共需准备多少种车票？
(4)某会场有50个座位，从中任选出3个座位，共有多少种不同的选法？
方法归纳
判断一个具体问题是否为排列问题的方法
巩固训练1 下列问题是排列问题的为________．
①选2个小组分别去植树和种菜；
②选2个小组分别去种菜；
③某班40名同学在假期互发短信；
④从1，2，3，4，5中任取两个数字相除．
题型2 与排列数公式相关的计算
例2 等于( )
A．107 B．323 C．320 D．348
(2)已知＝10，则n的值为________；
＝________．
方法归纳
排列数的计算方法
(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．
(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
巩固训练2 (1)若x是正整数，且x<55，则(55－x)(56－x)…(68－x)等于( )
A.
C.
等于( )
A．12 B．24 C．30 D．36
(3)如果＝17×16×15×…×5×4，则n＝________，m________．
题型3 利用排列与排列数解决简单的实际问题
例3 有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体站成一排，男、女各站在一起；
(4)全体站成一排，男生互不相邻；
(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．
巩固训练3 (1)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120
C．72 D．24
(2)从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，共有( )种参赛方案．
A．120 B．240
C．300 D．360
(3)将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)．这样的排列方法有________种(用数字作答)．
易错辨析 忽略排列的有序性致错
例4 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有________种排法．
解析：先排甲、乙，有排法，再排丙，有排法，其余5人有种排法，故不同排法共有＝5 760(种)．
答案：5 760
【易错警示】
4．2 排列
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点二
不同排列的个数
要点三
n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．解析：A是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关；B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．
答案：AD
3．解析：＝＝6×5＝30.
答案：A
4．解析：由排列数公式可知原式为.
答案：B
5．解析：12，13，21，23，31，32共6个．
答案：6
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)是．选出的2人，担任正、副班长人选，与顺序有关，所以是排列问题．
(2)是．对数值与底数和真数的取值有关系，与顺序有关．
(3)是．起点站或终点站不同，则车票不同，与顺序有关．
(4)不是．只是选出3个座位，与顺序无关．
巩固训练1 解析：对①，植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题；
对②，不存在顺序问题，不是排列问题；
对③，存在顺序问题，是排列问题；
对④，两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题．
答案：①③④
例2 解析：(1)原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.
(2)由＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.
(3)∵n＋3≤2n，n＋1≤4，且n∈N＋，
∴n＝3，
+＝6！＋4！＝744.
答案：(1)D (2)5 (3)744
巩固训练2 解析：(1)由排列数公式或特殊值知B正确．
＝＝7×6－6＝36.
(3)易知n＝17，又4＝n－m＋1＝18－m，所以m＝14.
答案：(1)B (2)D (3)17 14
例3 解析：(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有＝2 520(种)排法．
(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有＝5 040(种)排法．
(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有女生必须站在一起，是女生的全排列种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有种排法．根据分步乘法计数原理，共有＝288(种)排法．
(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有种排放，故共有＝1 440(种)排法．
(5)先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有＝5(种)排法；再安排其他人，有＝720(种)排法．所以共有＝3 600(种)排法．
巩固训练3 解析：(1)先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端共有4个位置，再把三人带椅子插在这四个位置中，共有＝24种放法．
(2)方法一 从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：
第1类，甲不参赛，有
第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种排法，然后安排其他三棒，有种参赛方案
＝240(种)．
方法二 从位置角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲外的5人中选2人，有种选法；其余两棒从剩余4人中选，有种选法．
＝240(种)．
方法三(间接法) 不考虑甲的约束条件，有安排方法，甲跑第一棒或第四棒有安排方法，所以甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有＝240(种)．
解析：(3)方法一(整体法) 5个元素无约束条件的全排列有排法，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此，上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”的排列方法有×2＝40(种)．
方法二(插空法) 若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入这时形成的4个空中，分两类：
第一类，若字母D，E相邻，则有
第二类，若字母D，E不相邻，则有种排法，
则不同的排列方法有＝20(种)．
同理，字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法，
因此，满足条件的排列方法有20＋20＝40(种)．
答案：(1)D (2)B (3)40出错原因
纠错心得
求解本题时容易出现下列两种错解．
错解一：甲、乙两人在前排，前排还少2人，从余下5人(不含丙)中选2人排在前排，有排法；丙在后排，余下的3人有排法，故不同排法共有＝120(种)．
错解二：甲、乙两人在前排，有种排法，再从余下5人(不含丙)中选2人排在前排，有种排法；其余4人(含丙)在后排，有种排法，故不同排法共有＝960(种)．导致错解的原因是甲、乙两人在前排，但甲、乙两人的位置不能确定，需对甲、乙两人的位置进行排列，同样，丙在后排，丙的位置也不能确定，丙的位置也需排列．
排列问题中，若对元素的位置没有要求，则各元素间是有顺序之分的，解题时要时刻把握这一“原则”．