数学选择性必修 第一册4.4 二项式定理学案设计
展开(2)掌握二项式系数的性质.
(3)会用赋值法求系数的和.
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 杨辉三角的特点
(1)每一行两端都是数字________.
(2)其余位置上的每个数都等于它“肩上”两个数的________.
要点二 二项式系数的性质
(1)对称性:二项式系数f(r)关于直线r=对称,即f(r)=f(n-r).在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即________.
(2)单调性和最大值:二项式系数f(r)从两端向中间逐渐增大,且当n是偶数时,展开式的项数n+1是奇数,中间一项的二项式系数________取得最大值;当n是奇数时,展开式的项数n+1是偶数,中间两项的二项式系数________相等,且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和:
+
+…=________.
批注❶ 也可以从集合的角度解释.设A是含有n个元素的集合,求A的子集个数时,可以按照子集中含有元素的个数进行分类:没有元素的子集(即空集)有含1个元素的子集有含2个元素的子集有含n个元素的子集有,故所有子集的个数为=2n.
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)(a+b)n的展开式中,二项式系数具有对称性.( )
(2)二项展开式的二项式系数和为.( )
(3)二项式展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和.( )
(4)二项展开式项的系数是先增后减的.( )
2.(1-x)5的二项展开式中,所有项的二项式系数之和是( )
A.0 B.-1 C.-32 D.32
3.二项式的展开式中所有项的系数和是( )
A.38 B.28 C.1 D.-1
4.若展开式中只有第6项的二项式系数最大,则n=( )
A.11 B.10 C.9 D.8
5.(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10,则a0+a1+a2+…+a9+a10=________.
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 与“杨辉三角”有关的问题
例1 [2022·山东胶州测试]杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中,画了一张表示二项式(a+b)n(n=1,2,3,…)展开后的系数构成的三角形数阵,称做“开方做法本源”,这就是著名的“杨辉三角”,它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.在“杨辉三角”中,从第2行开始,除1以外,其它每一个数值是它上面的两个数值之和,该三角形数阵开头几行如图所示.某行中只有一项最大,且为252,该行是第( )行
A.12 B.11 C.10 D.9
方法归纳
解决与杨辉三角有关的问题的一般方法是:观察——分析,实验——猜想结论——证明,要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律,取决于我们的观察能力,注意观察方法:横看、竖看、斜看、连续看、隔行看,从多角度观察(横看成岭侧成峰,远近高低各不同).
巩固训练1 如图所示,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第________行中从左至右第14与第15个数的比为2∶3.
题型2 二项式系数和与各项的系数和问题
例2 (1)在(x+)n的展开式中,各项系数和与二项式系数和的比值为32,则x2的系数为( )
A.50 B.70 C.90 D.120
(2)[2022·湖南长沙测试](多选)已知(1-2x)2021=a0+a1x+a2x2+…+a2021x2021,下列命题中,正确的是( )
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 021
B.展开式中所有奇次项系数的和为
C.展开式中所有偶次项系数的和为
D.+…+=-1
方法归纳
二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1);奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=;偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
巩固训练2 (1)在(3x2-)n的展开式中,所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为( )
A.-32 B.0 C.32 D.1
(2)已知(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=________.
题型3 展开式中系数最大问题
例3 已知(+2x)n的展开式前三项的二项式系数的和等于37,求:
(1)展开式中二项式系数最大的项的系数;
(2)展开式中系数最大的项.
方法归纳
1.求二项式系数最大的方法
根据二项式系数的性质,n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
2.求系数最大项的方法
一般采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第r+1项系数最大,应用解出r,即得系数最大项.
巩固训练3 (1)[2022·湖南雅礼中学测试]若()n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是________;
(2)展开式(1+3x2)5中系数最大的项为________.
易错辨析 错用二项式系数的性质
例4 (1+2x)20的展开式中,x的奇次项系数的和与x的偶次项系数的和各是多少?
解析:设x的奇次项系数的和为A,x的偶次项系数的和为B,则令x=1,得A+B=320,
x=-1,得B-A=1,
∴2B=320+1,∴B=,A=.
即奇次项系数的和为,偶次项系数的和为.
【易错警示】
4.4 二项式定理(2)
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
(1)1 (2)和
要点二
= (3)2n-1
[基础自测]
1.(1)√ (2)× (3)× (4)×
2.解析:(1-x)5的二项展开式中所有项的二项式系数之和为25=32.
答案:D
3.解析:令x=1,可得(1-)8=1,即二项式(x-)8的展开式中所有项的系数和为1.
答案:C
4.解析:由题意,()n展开式中只有第6项的二项式系数最大,根据二项式系数的性质,可得展开式共有11项,所以n=10.
答案:B
5.解析:因为(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10,
所以令x=1得a0+a1+a2+…+a9+a10=(2-1)10=1.
答案:1
题型探究·课堂解透
例1 解析:因为某行中只有一项最大,且为252,
所以行数n为偶数,因为
所以n=10
答案:C
=,即=,∴n=34.
答案:34
例2 解析:(1)令x=1,得各项系数和为4n,又二项式系数和为2n,所以由题意知2n=32,得n=5,二项展开式的通项为Tr+1=x5-r()r=r=2,得r=2,所以x2的系数为32=90.
(2)对于选项A:由二项式定理知:=(1+1)2 021=22 021,正确;
当x=1时,有a0+a1+a2+…+a2 021=-1,当x=-1有a0-a1+a2-a3+…+a2 020-a2 021=32 021,
对于选项B:由上,可得a1+a3+a5+…+a2 021=-,错误;对于选项C:由上,可得a0+a2+a4+…+a2 020=,正确;对于选项D:由二项式展开式的通项知:Tr+1=(-2x)r=xr,则a1=,a2=,…,a2 021=,所以+…+===-1,正确.
答案:(1)C (2)ACD
巩固训练2 解析:(1)由题意知2n=32,得n=5.令x=1,可得展开式中各项系数的和为(3×12-1)5=32.
(2)由题知:(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5中,a0,a2,a4为正数,a1,a3,a5为负数,
所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5.
令x=-1得:(1+2)5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243,
所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=243.
答案:(1)C (2)243
例3 解析:
(2)设二项展开式的第r+1项的系数最大,
则
解得7≤r≤8,所以展开式中系数最大的项为第8项或第9项,即T8=)1·27·x7=28x7,T9=)0·28·x8=28x8.
巩固训练3 解析:(1)Tr+1=)n-r(-)r=,
由题意知当n=10时,展开式中只有第六项的二项式系数最大.
令=0,r=2,
所以常数项为=180.
(2)展开式为Tr+1=×15-r×(3x2)r=x2r
,即,
解得≤r≤,
因此r=4,即展开式中第5项系数最大,
T5=x8=405x8.
答案:(1)180 (2)405x8出错原因
纠错心得
求解本题,容易出现下列两种错误.
错解一:∵二项展开式中奇次项系数的和与偶次项系数的和相同,∴奇次项系数的和与偶次项系数的和均为219.
错解二:由二项展开式知x的奇次项系数的和为219
的偶次项系数的和为·220.错解一是将系数和与二项式系数和混淆了;错解二解法欠妥,很难求出数值.其原因在于没把握住求系数和的根本方法.
对于求系数和的问题,要注意用赋值法解决.奇、偶次项是针对x的指数而言,奇、偶数项是针对第几项而言.
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高中数学湘教版(2019)选择性必修 第一册第4章 计数原理4.2 排列导学案: 这是一份高中数学湘教版(2019)选择性必修 第一册第4章 计数原理4.2 排列导学案,共6页。学案主要包含了易错警示等内容,欢迎下载使用。
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