高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系学案

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1．2 直线的倾斜角、斜率及其关系
最新课标
(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．
(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
[教材要点]
要点一 一次函数的图象与直线的方程
一般地，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是________，它是以满足y＝kx＋b的每一对x，y的值为坐标的点构成的，同时函数解析式y＝kx＋b可以看作____________．
要点二 直线的倾斜角
1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按________方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角，通常用α表示．
2．范围：当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________.因此，直线的倾斜角α的取值范围是________.
状元随笔 由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．
要点三 直线的斜率
如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记Δx＝x2－x1(Δx≠0)，Δy＝y2－y1，则k＝的大小与________________________无关，称k＝________________为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率．
状元随笔 若直线l垂直于x轴，则它的斜率不存在；若直线l不与x轴垂直，则它的斜率存在且唯一．
要点四 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
1．k＝________________.
当α∈时，斜率________，且k随倾斜角α的增大而________；
当α∈时，斜率________，且k随倾斜角的增大而________；
当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率________.
状元随笔 斜率与倾斜角的对应关系
2．如图，若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率________．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°.( )
(2)若k是直线的斜率，则k∈R.( )
(3)任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率．( )
(4)任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．( )
2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是( )
A.0° B．45°
C.60° D．90°
3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )
A. B．
C.1 D．
4．已知直线l的一个方向向量v＝(2，4)，则直线l的斜率为________.
题型一 求直线的倾斜角
例1 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋40°
B．α－140°
C．140°－α
D．当0°≤α＜140°时为α＋40°，当140°≤α＜180°时为α－140°
状元随笔 求直线倾斜角的两点注意：
①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0 °，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90 °.
②注意直线倾斜角的取值范围是0 °≤α＜180 °.
方法归纳
求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
跟踪训练1
(1)如图，直线l的倾斜角为( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
(2)一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为( )
A．αB．180°－α
C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α
题型二 求直线的斜率
例2
(1)如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率；
(2)求经过两点A(a，2)，B(3，6)的直线的斜率．
方法归纳
1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
3．涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．
跟踪训练2 (1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；
(2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．
题型三 直线的方向向量的应用
例3 (1)直线l的一个方向向量为v＝(1，)，则直线l的倾斜角为________.
(2)已知直线l的斜率为－，则它的一个方向向量的坐标为________.
方法归纳
(1)若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)，则k＝；
(2)若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量．
跟踪训练3 (1)已知直线l的斜率为，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2，－3) B．(2，3)
C．(－3，2) D．(3，2)
(2)已知直线l的一个方向向量的坐标是(－1，)，则直线l的倾斜角为________．
题型四 直线斜率的应用
例4 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90 °时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90 °时，则有k≤kPA.
状元随笔 ①直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90 °时．直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．
②直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0 °≤α＜90 °时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90 °＜α＜180 °时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
跟踪训练4 已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)，
(1)求直线AB和AC的斜率．
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
[课堂十分钟]
1．若直线l的倾斜角α＝45°，则其斜率k＝( )
A． B．
C．1 D．
2．直线x＝2 021的倾斜角为( )
A．90° B．0°
C．180° D．45°
3．已知过点A(a，2)，B(－1，4)的直线的斜率为－1，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
4．[多选题]已知直线l的斜率为2，则它的方向向量的坐标可能为( )
A．(1，2) B．(2，1)
C．(－1，－2) D．(3，6)
5．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，1)，B(3，4)，C(1，－2)，则三边的斜率kAB，kAC，kBC的大小关系为________.
1．1 一次函数的图象与直线的方程
1．2 直线的倾斜角、斜率及其关系
新知初探·课前预习
要点一
一条直线 二元一次方程
要点二
1．逆时针
2．0 [0，π)
要点三
两点P1，P2在直线上的位置 (x1≠x2)
要点四
1．tan α k≥0 增大 k<0 增大 不存在
2．k＝
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：∵k＝－＝0，∴θ＝0°.
答案：A
3．解析：由题意可知，k＝tan 30°＝.故选A.
答案：A
4．解析：由直线的斜率与直线的方向向量的关系可知直线l的斜率k＝＝2.
答案：2
题型探究·课堂解透
例1 解析：根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．
通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α＜140°时，l1的倾斜角为α＋40°；
当140°≤α＜180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.
答案：D
跟踪训练1 解析：(1)由图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°.
(2)如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.
答案：(1)D (2)D
例2 解析：(1)l1的斜率k1＝tan α1＝tan 30°＝.
∵l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l2的斜率k2＝tan 120°＝tan (180°－60°)＝－tan 60°＝－.
(2)当a＝3时，斜率不存在；
当a≠3时，直线的斜率k＝.
跟踪训练2 解析：(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，又k＝，由＝－1，得y＝－5.
(2)由斜率公式k＝＝1，得m＝1.
答案：(1)－5 (2)1
例3 解析：(1)由直线的斜率与直线的方向向量的关系可知k＝.
又因为0≤α<π，所以α＝.
(2)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)为直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v＝(x2－x1，y2－y1)
则－＝，
即y2－y1＝－(x2－x1)
所以v＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)
因此，是直线l的一个方向向量的坐标．
答案：(1) (2)或(2，－1)或(－2，1)，答案不唯一．
跟踪训练3 解析：(1)直线l的方向向量v＝(1，k)＝，所以(3，2)是直线l的一个方向向量，故选D.
(2)k＝＝＝－，又倾斜角α∈[0，π)，∴α＝.
答案：(1)D (2)
例4 解析：如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，
(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，∴α的取值范围是45°≤α≤135°.
跟踪训练4 解析：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是[].
[课堂十分钟]
1．解析：由k＝tan α知k＝tan 45°＝1，故选C.
答案：C
2．解析：因为直线x＝2 021垂直于x轴，所以倾斜角为90°，故选A.
答案：A
3．解析：由k＝得k＝＝－1，解得a＝1.故选C.
答案：C
4．解析：由题意知v＝(1，k)是它的一个方向向量，则A、C、D都可能为直线l的一个方向向量．
答案：ACD
5．解析：作出△ABC的图形，数形结合可知kBC>kAB>kAC.
答案：kBC>kAB>kAC图示
倾斜角
(范围)
α＝0
0＜α＜
α＝
＜α＜π
斜率
(范围)
0
(0，＋∞)
不存在
(－∞，0)