北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何4 向量在立体几何中的应用4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系第三课时同步测试题

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点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝________．
要点二 点到直线的距离
若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上的任意一点，则点P到直线l的距离为：d＝________．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离．( )
(2)直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离．( )
(3)两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离．( )
(4)平面α外一点P到平面α的距离在平面α内任一点与点P的距离中最短．( )
2．已知向量n＝(1，0，－1)与直线l垂直，且l经过点A(2，3，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为( )
A． B．
C． D．
3．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到α的距离为( )
A．10 B．3
C． D．
4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为________．
题型一 点到直线的距离
例1 在棱长为2的正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是棱C1C和D1A1的中点，求点A到直线EF的距离．
方法归纳
利用公式d＝求点到直线的距离的步骤：直线的方向向量→所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量上的投影→代入公式．
跟踪训练1 四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离．
题型二 点到平面的距离
例2 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．
方法归纳
利用向量求点到平面的距离的一般步骤
(1)求出该平面的一个法向量；
(2)求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
跟踪训练2 已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，求点B1到平面A1BC1的距离．
题型三 线面距与面面距
例3 如图，在直棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离.
方法归纳
(1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．
(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．
跟踪训练3 已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
易错辨析 考虑问题不全面致误
例4 线段AB在平面α内，AC⊥α，BD⊥AB，且BD与α所成角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C，D间的距离．
解析：当C，D在平面α的同侧时，由AC⊥α，AB⊄α可知AC⊥AB.
过点D作DD1⊥α，D1为垂足，则 ∠DBD1＝30°，〈〉＝120°，
∴||2＝||2＝＋＋＋2·＋2·＋2·
＝b2＋a2＋b2＋2b2cs 120°＝a2＋b2.
∴||＝
当C，D在平面α的异侧时，〈〉＝60°，
同理可以求出||＝.
所以||＝或
【易错警示】
[课堂十分钟]
1．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是( )
A． B． C． D．3
2．已知空间中三点A(1，0，0)，B(2，1，－1)，C(0，－1，2)，则点C到直线AB的距离为( )
A． B． C． D．
3．在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是( )
A．a B．a C．a D．a
4．已知点A(－1，1，－1)，平面α经过原点O，且垂直于向量n＝(1，－1，1)，则点A到平面α的距离为________．
5．在如图所示的空间直角坐标系中，长方体ABCD­A′B′C′D′的棱AB＝AD＝1，BB′＝2，M，N分别为A′D′，D′C′的中点，求直线AC与直线MN的距离．
第3课时 空间中的距离问题
新知初探·课前预习
要点一
|·n0|
要点二
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．解析：∵n＝(1，0，－1)与直线l垂直，
∴n的单位向量n0＝.
又∵l经过点A(2，3，1)，∴＝(2，0，1)，
∴在n上的投影·n0＝(2，0，1)·＝.
∴点P到l的距离为.故选B.
答案：B
3．解析：∵α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，
∴n0＝.
又点A(－1，3，0)在α内，∴＝(－1，－2，4)，
∴点P到平面α的距离为|·n0|＝＝.故选D.
答案：D
4．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)．
∴＝＝(－a，0，a)．
∴||＝|＝a.
∴点A1到BC1的距离
d＝
＝＝a.
答案：a
题型探究·课堂解透
例1
解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)．所以直线EF的方向向量＝(1，－2，1)；取直线EF上一点F(1，0，2)，则点A(2，0，0)到直线EF上一点F(1，0，2)的向量＝(－1，0，2)．
因为在上的投影为·＝，
所以点A到直线EF的距离d＝＝.
跟踪训练1
解析：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴PA＝AD＝4，AB＝2.
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，0，4)，D(0，4，0)，＝(0，－4，4)．
＝(－2，0，4)，＝(0，－4，4)，
∴·＝16，
∴在上的投影的长度为＝＝2.
所以点B到直线PD的距离为
d＝＝＝2.
例2 解析：
以C为坐标原点，CB，CG所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
由题意可知G(0，0，2)，E(4，－2，0)，F(2，－4，0)，B(4，0，0)，
∴＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)，＝(0，－2，0)．
设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)．
由得∴
令y＝1，则n＝(－1，1，－3)，
故点B到平面EFG的距离为d＝＝＝.
跟踪训练2
解析：建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则＝(－4，6，0)，＝＝＝(0，6，0)．设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即，取x＝1，
解得n＝.
∴点B1到平面A1BC1的距离d＝＝.
例3
解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D­xyz，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，C(0，，0)．过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，
∴B(1，2，0)，∴＝(0，2，0)，＝(－1，－，1)．
设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，
即即
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝＝(0，0，2)，
∴点A1到平面ABE的距离d＝＝＝.
∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离，
∴直线A1B1与平面ABE的距离为.
跟踪训练3
解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，＝(0，1，－1)，＝＝(－1，0，0)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即.
令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1，1，1)．
∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.
∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于D1到平面A1BD的距离，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.
[课堂十分钟]
1．解析：两平面的一个单位法向量为n＝，故两平面间的距离为d＝|·n|＝.
答案：B
2．解析：由题意，可得＝(1，1，－1)，＝(－1，－1，2)，
cs 〈〉＝＝＝－，
∵〈〉∈，∴sin 〈〉＝，
所以点C到直线AB的距离d＝||·sin 〈〉＝.
答案：A
3．解析：
如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(a，0，a)，
A(a，0，0)，M，B(a，a，0)，
∴＝
＝.
设n＝(x，y，z)为平面MBD的一个法向量，
则∴∴
令y＝1，得n＝(－1，1，2)．
又＝(a，0，a)，
故点A1到平面MBD的距离为d＝＝a.
答案：A
4．解析：∵＝(－1，1，－1)，n＝(1，－1，1)，
∴点A到平面α的距离为d＝＝＝.
答案：
5．解析：依据长方体的性质可知AC∥MN，故两直线间的距离为点M到直线AC的距离．
由题意得＝(－1，1，0)，＝.
所以点M到直线AC的距离
d＝＝＝.
易错原因
纠错心得
因C，D两点相对平面的位置不同，会出现点C，D在平面α的同侧和异侧两种情况，在解题的过程中易忽略分类讨论而导致出错．
本题容易出现只考虑点C，D在平面α的同侧的情况，而忽略两点位于平面α异侧的情况，出现漏解，对于此类问题，应注意考虑全面．