高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 排列数公式课后测评

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 排列数公式课后测评，共11页。
＝______________________＝__________(m≤n)．
状元随笔 (1)排列的定义中包含两个基本内容：一是取出元素，二是按一定顺序排列．
(2)一个排列就是完成一件事情的一种方法，不同的排列就是完成一件事情的不同方法．
(3)两个排列相同，需要满足两个条件：一是元素完全相同，二是元素的排列顺序相同．
表示一个数，且∈N*.
＝n！，0！＝1.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数．( )
(2)若＝10×9×8×7×6，则n＝10，m＝6.( )
(3)n！＝1×2×3×…×(n－1)×n.( )
(4)某班从8名运动员中选取4名参加4×100米接力赛，有种不同的参赛方案．( )
2．90×91×92×…×100可以表示为( )

3．若＝，则n＝( )
A．6 B．7 C．8 D．9
4．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有______种．
题型一 排列数的计算
例1 (1)已知＝10，则n的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
(2)计算：＝________．
方法归纳
排列数的计算方法
(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．
(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
跟踪训练1 等于( )
A．12 B．24 C．30 D．36
＝________．
题型二 排列的应用
角度1 特殊元素或特殊位置问题
例2 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站右端，也不站左端；
(2)甲、乙站在两端；
(3)甲不站左端，乙不站右端．
状元随笔 对于“人站队”问题，由于有顺序，所以是排列问题，又由于安排甲、乙时有限制，所以这又是有限制条件的排列问题，应先考虑特殊元素甲、乙或特殊位置左、右两端，再考虑其他的情况．
方法归纳
特殊元素或特殊位置问题一般从以下三种思路考虑：
(1)以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；(2)以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．以上三种思路可以简化如图．
当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决．
跟踪训练2 从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有________种参赛方案．( )
A．120 B．240 C．300 D．360
角度2 相邻问题
例3 已知A，B，C，D，E共5名同学，按下列要求排列，分别求出满足条件的排列方法数．
(1)把这5名同学安排到5个空位上，且A，B必须相邻；
(2)把这5名同学安排到5个空位上，且A，B必须相邻，C，D，E也必须相邻；
(3)把这5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且A，B必须相邻．
状元随笔 (1)符合“捆绑法”的要求，可直接利用“捆绑法”解题；(2)由于A，B必须相邻，C，D，E也必须相邻，可考虑将二者各自视为整体，先对这两个整体进行排列，再对整体内部进行排列；(3)先把同学和座位“绑到一起”，进行排列，然后把剩余的空位插到中间．
“捆绑法”主要用于解决元素相邻的问题，解题思路是先整体，后局部．由第(2)题可知，只要是相邻元素问题，即使是受多个相邻条件限制的排列问题，都可以采用“捆绑法”解题．
方法归纳
解决“相邻”问题用“捆绑法”．将n个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同排法的种数，具体求解步骤如下：
(1)先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体；
(2)把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有种；
(3)“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有种；
(4)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种．
跟踪训练3 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )
A．504种 B．960种 C．1 008种 D．1 108种
角度3 不相邻问题
例4 已知A，B，C，D，E五名同学，按下列要求进行排列，求所有满足条件的排列方法数．
(1)把5名同学排成一排且A，B不相邻；
(2)把5名同学排成一排且A，B都不与C相邻；
(3)把5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且A，B不相邻．
状元随笔 (1)由于要求A，B不相邻，先将无限制条件的C，D，E排列好，然后将不相邻的A，B插入已经排好的同学之间及两端，也可用间接法进行计算．
(2)先排不受限制的D，E，然后按要求将不相邻的A，C插入已经排好的同学之间或两端，再按要求把B插入已经排好的同学之间或两端．
(3)可以采用间接法进行计算，即先不考虑限制条件进行排列，然后减去不符合条件的排列方法数；也可用直接法，先排A，B，C，D，E，再对A，B相邻和不相邻进行分类讨论．
方法归纳
解决不相邻问题用“插空法”．将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻(k≤n－k＋1)，求不同排法的种数，具体求解步骤如下：
(1)将没有不相邻要求的元素共(n－k)个排成一排，其排列方法有种；
(2)将要求两两不相邻的k个元素插入(n－k＋1)个空隙中，相当于从(n－k＋1)个空隙中选出k个分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有种；
(3)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法种数为.
跟踪训练4 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120 C．72 D．24
角度4 定序问题
例5 (1)用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．
(2)将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)．这样的排列方法有________种(用数字作答)．
方法归纳
解决“定序”问题用“倍缩法”．有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有
种满足条件的不同排法．
跟踪训练5 《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有( )
A．144种 B．288种
C．360种 D．720种
易错辨析 忽略排列的有序性致错
例6 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有________种排法．
解析：先排甲、乙，有
＝5 760(种)．
答案：5 760
【易错警示】
[课堂十分钟]
1．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有( )
A．1种 B．3种 C．6种 D．27种
2．从a，b，c，d，e五人中选2人分别参加数学和物理竞赛，但a不能参加物理竞赛，则不同的选法有( )
A．16种 B．12种 C．20种 D．10种
3．6本不同的书摆放在书架的同一层上，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有( )
A．24种 B．36种 C．48种 D．60种
4．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
5．用1，2，3，4，5，6，7这7个数字组成没有重复数字的四位数.
(1)这些四位数中偶数有多少个？
(2)这些四位数中大于6 500的有多少个？
2．2 排列数公式
新知初探·课前预习
要点
n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．解析：由排列数公式可知原式为.
答案：B
3．解析：因为＝，所以n≥3，n∈N*，
所以有2n·(2n－1)·(2n－2)＝10n·(n－1)·(n－2)，即2(2n－1)＝5(n－2)，解得：n＝8.
故选C.
答案：C
4．解析：3名女生先排好，有＝144种．
答案：144
题型探究·课堂解透
例1 解析：＝n(n＋1)－n(n－1)＝10，化简得2n＝10，所以n＝5.故选B.
解析：方法一 ＝＝＝＝.
方法二 ＝＝＝.
方法三 ＝＝＝＝.
答案：(1)B (2)
跟踪训练1 解析：＝＝7×6－6＝36.
解析：原式＝＝5×4×3×2×1＝120.
答案：(1)D (2)120
例2 解析：(1)方法一 (位置分析法)因为甲不站左右两端，故先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有
＝480种站法．
方法二 (元素分析法)因为甲不能站左右两端，故先让甲排在除左右两端之外的任一位置上，有
＝480种站法．
方法三 (间接法)在排列时，我们对6个人不考虑甲站的位置全排列，有
＝480种站法．
(2)方法一 (元素分析法)首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有＝48种站法．
方法二 (位置分析法)首先考虑两端两个位置，由甲、乙去站，有＝48种站法．
(3)方法一 (间接法)甲在左端的站法有＝504种站法．
方法二 (直接法)从元素甲的位置进行考虑，可分两类：第1类，甲站右端有＝504种站法．
跟踪训练2 解析：方法一 从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：
第1类，甲不参赛，有
＝240(种)．
方法二 从位置角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲外的5人中选2人，有
＝240(种)．
方法三 (间接法)不考虑甲的约束条件，有＝240(种)．故选B.
答案：B
例3 解析：(1)第一步，把A，B这2名同学看作一个整体，和C，D，E共四个元素进行排列，其排列方法有
＝48(种)．
(2)第一步，把A，B这2名同学看作一个整体，把C，D，E这3名同学看成一个整体，故这两个整体排成一列的方法有
＝24(种)．
(3)第一步，先看成A，B，C，D，E这5名同学带着座位排列，而且满足A，B相邻的要求，由(1)可知，其排列方法有48种；第二步，把剩下的1个空位往已经坐好的5名同学中间(包括两端)插空，且不能插在A，B之间，其排列方法有种；第三步，根据分步乘法计数原理知，符合题意的排列方法有＝240(种)．
跟踪训练3 解析：依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方案共有＝1 440(种)，其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方案共有＝240(种)；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁排在10月7日值班的方案共有＝240(种)；满足甲、乙两个值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有＝48(种)．
因此，满足题意的方案共有1 440－2×240＋48＝1 008(种)．故选C.
答案：C
例4 解析：(1)方法一 第一步，先排不受限制的同学C，D，E，其排列方法有种．第二步，由于已经排好的C，D，E间(包括两端)形成了4个空，把有限制条件(不相邻)的同学A，B插到这4个空中，其排列方法有＝72(种)．
方法二 先不考虑A，B不相邻这个限制条件，把5名同学全排列有＝72(种)．
(2)第一步，先排不受限制的同学D，E，其排列方法有种．第二步，由于已经排好的D，E之间(包括两端)形成了3个空，把有限制条件(不相邻)的同学A，C插到这3个空中，共有排列方法种．第三步，由于已经排好的A，C，D，E之间(包括两端)形成了5个空，但由于B不能与C相邻，所以把B插入已经排好的A，C，D，E中时只有3种选择，其排列方法有＝36(种)．
(3)方法一 (间接法)先不考虑A，B不相邻这个限制条件，把5名同学安排到6个空位中的5个空位上，其排列方法有
＝480(种)．
方法二 (直接法)先排A，B，C，D，E，再将剩余的空位插到中间．①当A，B不相邻时，由(1)知，其排列方法有72种，然后把剩余的空位插入到已经排好的排列中，有6种插入的方法，由分步乘法计数原理知，其排列方法有6×72＝432(种)；②当A，B相邻时，其排列方法有
×1＝48(种)．由分类加法计数原理知，共有432＋48＝480种排列方法．
跟踪训练4 解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端共有4个位置，再把三人带椅子插在这四个位置中，共有＝24种放法，故选D.
答案：D
例5 解析：(1)若1，3，5，7的顺序任意，则排法有＝24(种)，而1，3，5，7的顺序一定的排法数占总排法数的，故符合条件的七位数有＝210(个)．
解析：方法一 (整体法)5个元素无约束条件的全排列有
×2＝40(种)．
方法二 (插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入这时形成的4个空中，分两类：
第一类，若字母D，E相邻，则有
＝20(种)．
同理，字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法，
因此，满足条件的排列方法有20＋20＝40(种)．
答案：(1)210 (2)40
跟踪训练5 解析：第1步，将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》之外的四首诗词进行排列，由于《将进酒》排在《望岳》前面，故不同排法有＝12(种)；第2步，排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，由于第1步中的4首诗词排好后，不含最后，有4个空位，在4个空位中任选2个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，安排方法有＝12(种)．
由分步乘法计数原理知，后六场的排法有12×12＝144(种)．故选A.
答案：A
[课堂十分钟]
1．解析：
＝24(种)不同的摆放方法．
答案：A
4．解析：先将A，B捆绑在一起，有
＝36(种)．
答案：36
5．解析：(1)偶数的个位数只能是2、4、6，有＝360(个)．
(2)最高位上是7时大于6 500，有＝160(个)．
易错原因
纠错心得
求解本题时容易出现下列两种错解．
错解一：甲、乙两人在前排，前排还少2人，从余下5人(不含丙)中选2人排在前排，有
＝120(种)．
错解二：甲、乙两人在前排，有种排法，再从余下5人(不含丙)中选2人排在前排，有种排法；其余4人(含丙)在后排，有＝960(种)．导致错解的原因是甲、乙两人在前排，但甲、乙两人的位置不能确定，需对甲、乙两人的位置进行排列，同样，丙在后排，丙的位置也不能确定，丙的位置也需排列．
排列问题中，若对元素的位置没有要求，则各元素间是有顺序之分的，解题时要时刻把握这一“原则”．