高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册2.7 用坐标方法解决几何问题课时训练

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册2.7 用坐标方法解决几何问题课时训练，共7页。试卷主要包含了判断正误，出错原因等内容，欢迎下载使用。
(1)能用坐标法解决几何问题．
(2)会用“数形结合”的数学思想解决问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 坐标法
平面解析几何的基本思想方法就是在平面直角坐标系中，把点用坐标表示，将直线与圆等曲线用方程表示，通过研究方程来研究图形的性质，这种代数研究方法被称为坐标法．
要点二 用代数方法解决几何问题的基本过程
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)用坐标方法解决平面几何问题时平面直角坐标系可以随便建．( )
(2)圆O上一动点M与圆O外一定点P的距离的最小值为|PO|－|OM|.( )
(3)已知点P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1＝x2，y1≠y2，则PQ与x轴垂直．( )
2．方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示的轨迹为( )
A．圆心为(1，2)的圆
B．圆心为(2，1)的圆
C．圆心为(－1，－2)的圆
D．不表示任何图形
3．到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4
B．x2＋y2＝16
C．x2＋y2＝2
D．(x－4)2＋(y－4)2＝16
4．方程|x－1|＝表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个半圆
C．两个圆 D．半圆
5．已知两定点A(－2，1)，B(2，－1)，如果动点P满足|PA|＝|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 用坐标法证明平面几何问题
例1 在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：＝2(|AD|2＋|DC|2)．
方法归纳
用坐标法证明平面几何问题的一般步骤
巩固训练1 已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：|AC|＝|BD|.
题型2 直接法求动点的轨迹方程
例2 已知圆C过点(2，－3)，(0，－3)，(0，－1)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知点P是直线2x＋y－1＝0与直线x＋2y＋1＝0的交点，过点P作直线与圆C交于点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程．
方法归纳
用直接法求轨迹方程的一般步骤
巩固训练2 已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程．
题型3 代入法(相关点法)求动点的轨迹方程
例3 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)．
(1)求△ABC外接圆的方程；
(2)动点D在△ABC的外接圆上运动，点E坐标为(7，4)，求DE中点M的轨迹．
方法归纳
用代入法(相关点法)求轨迹方程的一般步骤
巩固训练3 已知圆(x＋1)2＋y2＝2上动点A，x轴上定点B(2，0)，将BA延长到M，使AM＝BA，求动点M的轨迹方程．
易错辨析 因忽视验证造成增解而致错
例4 求以A(－2，0)，B(2，0)为直径端点的圆的内接三角形的顶点C的轨迹方程．
解析：设C的坐标为(x，y)．
∵△ABC为圆的内接三角形，且圆以线段AB为直径，∴⊥，即·＝0.
又＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，
∴(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2－4＋y2＝0.
又当x＝±2时，C与A或B重合，不构成三角形，
∴所求C点的轨迹方程为x2＋y2－4＝0(x≠±2)．
【易错警示】
2．7 用坐标方法解决几何问题
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点二
几何 代数
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)√
2．解析：因为x2＋y2－2x－4y＋6＝0等价于(x－1)2＋(y－2)2＝－1，即方程无解，所以该方程不表示任何图形．
答案：D
3．解析：由题意可知到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是圆的方程，圆心是坐标原点，半径为4，故所求轨迹方程为x2＋y2＝16.
答案：B
4．解析：方程两边平方得(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
答案：A
5．解析：设P(x，y)，由题设得：(x＋2)2＋(y－1)2＝2[(x－2)2＋(y＋1)2]，∴(x－6)2＋(y＋3)2＝40，故P的轨迹是半径为的圆，∴图形的面积等于40π.
答案：40π
题型探究·课堂解透
例1
证明：设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)．
∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，
|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
巩固训练1 证明：
如图所示，建立直角坐标系，
设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)
∴|AC|＝
＝，
|BD|＝＝.
故|AC|＝|BD|.
例2 解析：(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
把点(2，－3)，(0，－3)，(0，－1)代入得
解得
所以圆的方程为：x2＋y2－2x＋4y＋3＝0，化为标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)联立，解得，
所以P(1，－1)．
设弦AB的中点M的坐标为(x，y)，
由垂径定理得CM⊥AB，即CM⊥PM，则kCM ·kPM＝－1，
由第一问知，圆心坐标为C(1，－2)
所以·＝－1，整理得：x2＋y2－2x＋3y＋3＝0，
故中点M的轨迹方程为x2＋y2－2x＋3y＋3＝0.
巩固训练2 解析：设点P的坐标为(x，y)，则＝2，
化简得(x－5)2＋y2＝16，
故此曲线的方程为(x－5)2＋y2＝16.
例3 解析：(1)因为A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)，所以kAB＝＝0，AB的中点为(2，5)，则
AB的垂直平分线的方程为x＝2；
kBC＝＝－7，BC的中点为()，则BC的垂直平分线的方程为
y－＝(x－)，即x－7y＋5＝0；
联立，解得，所以圆心坐标为(2，1)，半径为＝5，
所以△ABC外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.
(2)设M(x，y)，D(x0，y0)，由中点公式得，则，代入(x－2)2＋(y－1)2＝25得DE中点M的轨迹方程为(2x－7－2)2＋(2y－4－1)2＝25，即(x－)2＋(y－)2＝，
所以DE中点M的轨迹是以点()为圆心，以为半径的圆．
巩固训练3 解析：设A(x1，y1)，M(x，y)，∵AM＝BA，且M在BA的延长线上，
∴A为线段MB的中点，
由中点坐标公式得
∵A在圆上运动，将点A的坐标代入圆的方程，得(＋1)2＋＝2，
化简得(x＋4)2＋y2＝8，
∴点M的轨迹方程为(x＋4)2＋y2＝8.出错原因
纠错心得
(1)若采用斜率解题，易在表述kAC，kBC时没有注意斜率不存在的情况．
(2)没有验证x＝±2是否满足题意．
求得点的轨迹方程后一定要检查题意中有没有限制条件，如本题构成三角形的条件．