湘教版（2019）选择性必修 第一册2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系导学案

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系导学案，共8页。

(1)掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．
(3)会用直线与圆的位置关系来解决一些实际问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
批注❶ “几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线与圆最多有两个公共点．( )
(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．( )
(3)若A，B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离.( )
(4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交.( )
2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝( )
A．1 B． C． D．2
4．若直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为( )
A． B． C． D．2
5．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 直线与圆的位置关系
例1 [2022·湖南长沙测试]已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝4(a>0，b>0)与x轴、y轴分別相切于A、B两点．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l：y＝kx－2与线段AB没有公共点，求实数k的取值范围；
(3)试讨论直线l：y＝kx－2与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝4(a>0，b>0)的位置关系．
方法归纳
判断直线与圆位置关系的3种方法
巩固训练1 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
(2)若过点(1，2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是________．
题型2 直线与圆相切问题
例2 (1)过点P(－2，4)的直线l与圆C：x2＋y2＋2x－2y－3＝0相切，则直线l的方程为( )
A．x＝－2或2x－y＋8＝0
B．x＝－2或x＋2y－6＝0
C．2x－y＋8＝0或x＋2y－6＝0
D．x－2y＋10＝0或2x＋y＝0
(2)过直线y＝2x－3上的点作圆C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )
A． B． C．2 D．
(3)过点M(2，－3)作圆C：x2＋y2＝13的切线，则切线的方程为________．
方法归纳
圆的切线的求解策略
巩固训练2 (1)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
(2)已知直线l平行于直线x－y＋2＝0，且与圆x2＋y2＝2相切，则直线l的方程是____________．
题型3 直线与圆相交问题
例3 (1)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________；
(2)[2022·湖南衡阳田家炳实验中学测试]已知直线l：(a＋1)x－y＋3＝0(a>0)．若直线l被圆x2－2x＋y2－5＝0截得的弦长为2，求直线l的方程．
方法归纳
求圆的弦长的2种常用方法
巩固训练3 [2022·湖南攸县三中测试]已知圆C的方程：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)求m的取值范围；
(2)当圆C过A(1，1)时，求直线l：x＋2y－4＝0被圆C所截得的弦MN的长．
易错辨析 忽略了圆的一个隐含条件
例4 已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点A(1，2)，要使过定点A(1，2)作圆的切线有两条，则a的取值范围为________．
解析：圆的标准方程为
(x＋)2＋(y＋1)2＝，
圆心C坐标为(－，－1)，
半径r＝＝，
则4－3a2>0，解得－又过点A(1，2)作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即>.
化简得a2＋a＋9>0，不等式a2＋a＋9>0恒成立，
故a的取值范围是(－)
答案：(－)
【易错警示】
2．6 直线与圆、圆与圆的位置关系
2．6.1 直线与圆的位置关系
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
2 1 0 < ＝ > > ＝ <
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．解析：圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1.∵d＝r，∴直线与圆相切．故选B.
答案：B
3．解析：直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2，故选D.
答案：D
4．解析：圆x2＋y2＝m(m>0)的圆心为(0，0)，半径为，因为直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，所以圆心到直线x＋y＝2的距离等于半径，列出方程得：＝，解得：m＝2.
答案：D
5．解析：由已知圆心C(3，1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝＝，则弦长＝2＝4.
答案：4
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)由已知可得圆C的圆心为C(a，b)，
由于圆C与x轴、y轴分別相切于A、B两点，圆心C到x轴、y轴的距离分别为b、a，
则a＝b＝2，
因此，圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)如下图所示：
由图可知，圆C与x轴相切于点A(2，0)，与y轴相切于点(0，2)，
当直线l过点A(2，0)时，则有2k－2＝0，解得k＝1，
由图可知，当k≥1时，直线l与线段AB有公共点，
因此，当k<1时，直线l与线段AB没有公共点，
所以，实数k的取值范围为(－∞，1)．
(3)圆心C(2，2)到直线l的距离为d＝，圆C的半径为r＝2.
①当d>r时，即k<时，直线l与圆C相离；
②当d＝r时，即k＝时，直线l与圆C相切；
③当d时，直线l与圆C相交．
综上所述，当k<时，直线l与圆C相离；
当k＝时，直线l与圆C相切；
当k>时，直线l与圆C相交．
巩固训练1 解析：(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝<1，所以直线与圆相交．
(2)把圆的方程化为标准方程得(x＋)2＋(y＋1)2＝16－，所以16－>0，解得－0，即(k－2)(k＋3)>0，解得k>2或k<－3，则实数k的取值范围是(－，－3))．
答案：(1)B (2)(－，－3))
例2 解析：(1)由题意可知，P(－2，4)在圆C的外部，故点P不是切点；
圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝5，
当直线斜率不存在时，直线方程为x＝－2，
圆心C(－1，1)到切线l的距离为d＝|－1－(－2)|＝1≠，此时直线和圆不相切；
作圆C的切线，斜率存在，设为k，
则切线方程为l：y＝k(x＋2)＋4，即l：kx－y＋2k＋4＝0.
圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝5，圆心C(－1，1)到切线l的距离为d＝＝，
化简可得2k2－3k－2＝0，
解得k＝－或k＝2，
∴切线方程为l：y＝－(x＋2)＋4或y＝2(x＋2)＋4，
化简可得x＋2y－6＝0或2x－y＋8＝0.
(2)直线y＝2x－3上任取一点P(x，y)作圆x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，设切点为A.
圆x2＋y2－4x＋6y＋12＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＝1，圆心为C(2，－3)，半径为r＝1.
切线长为＝.
|PC|min＝＝.
所以切线长的最小值为 ＝.
(3)由圆C：x2＋y2＝13得到圆心C的坐标为(0，0)，圆的半径r＝，
而|CM|＝＝＝r，
所以点M在圆C上，则过M作圆的切线与CM所在的直线垂直，又M(2，－3)，
得到CM所在直线的斜率为－，
所以切线的斜率为，
则切线方程为：y＝(x－2)－3.
即2x－3y－13＝0.
答案：(1)C (2)A (3)2x－3y－13＝0
巩固训练2 解析：(1)方法一 由3x＋4y＝b，得y＝－x＋，
代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，
Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.
方法二 由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0⇒(x－1)2＋(y－1)2＝1，
可知圆心坐标为(1，1)，半径为1，
直线和圆相切，则＝1，解得b＝2或12.
(2)设所求直线l为x－y＋b＝0(b≠2)，
因为直线与圆相切，
则＝，解得b＝－2，
则所求直线为x－y－2＝0.
答案：(1)D (2)x－y－2＝0
例3 解析：(1)设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦，|CA|＝＝，∴半弦长＝＝＝，∴最短弦的长为2.
(2)圆方程可化为(x－1)2＋y2＝6，圆心坐标为(1，0)，半径为，
则d＝，
因为直线l被圆x2－2x＋y2－5＝0截得的弦长为2，即2＝2，
d＝.
整理可得，4a2＋7a－11＝0，解得，a＝1或a＝－，
因为a>0，故a＝1，
所以，直线l的方程为2x－y＋3＝0.
答案：(1)2 (2)见解析
巩固训练3 解析：(1)圆C的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
令5－m>0得m<5.
(2)∵圆C过A(1，1)代入得m＝4，圆C方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，
圆心C(1，2)，半径r＝1，
圆心C(1，2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离为d＝＝，
∴MN＝2 ＝.位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
____个
____个
____个
判定方法❶
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d____r
d____r
d____r
代数法：由
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ____0
Δ____0
Δ____0
出错原因
纠错心得
忽视了圆的方程x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0中有一个隐含条件，即D2＋E2－4F>0
同学们在解答含有参数的问题时，要多一些严谨，以免遗漏某些条件，导致结果出错．