2022-2023学年江西省南昌市外国语学校高二下学期3月月考数学试题

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命题人：谢川 审题人：周国文
一､单选题（每题只有一个选项为正确答案．每题5分，8共40分）
1. 若数列的前4项分别是，则该数列的一个通项公式为（ ）
A. B. C. D.
2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 0，S3 S10，则Sn取最大值时n的值为（ ）
A. 6B. 7C. 6 或7D. 7 或8
3. 为促进中学生综合素质全面发展，某校开设5个社团，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团，则不同的报名方式共有（ ）
A. 60种B. 120种C. 125种D. 243种
4. 已知直线：和圆：交于A，B两点，则弦AB所对圆心角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，是上一点，且.若的面积为4，则的焦距为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（ ）
A. 192 里B. 96 里C. 48 里D. 24 里
8. 已知函数若数列满足，且是递减数列，则实数a的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第天所织布的尺数为，，则（ ）
A. B. 数列是等比数列
C D.
10. 已知数列的前n项和为，，则下列选项正确的是（ ）
A. 数列的奇数项构成的数列是等差数列B. 数列的偶数项构成的数列是等比数列
C. D.
11. 已知正四棱锥侧面是边长为6的正三角形，点M在棱PD上，且，点Q在底面及其边界上运动，且面，则下列说法正确的是（ ）
A. 点Q的轨迹为线段
B. 与CD所成角的范围为
C. 的最小值为
D. 二面角的正切值为
12. 已知椭圆左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，栯圆的离心率为，则以下说法正确的是（ ）
A. 离心率的取值范围为
B. 存在点，使得
C. 当时，的最大值为
D. 的最小值为1
三､填空题（每题5分，4题共20分）
13. 已知的展开式中含项的系数为，则实数____________．
14. 已知为等比数列的前项和，，，则的值为______．
15. 如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及其准线于点，若，且，则抛物线的标准方程是___________．
16. 已知数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，则的通项公式为_________；若表示不超过的最大整数，如，，则数列的前项的和为_________．
四､解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70）
17. 已知数列是递增的等差数列，，若成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和，求.
18. 已知各项均为正数的数列满足，，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）记，证明数列为等差数列，并求数列前项和.
19. 某山村为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，积极进行生态文明建设，投资32万元新建一处农业生态园．建成投入运营后，第一年需支出各项费用11万元，以后每年支出费用增加2万元．关于收入方面是逐年向好，第一年的收入为30万，从第二年起，每年比上一年增加1万元．设表示前年的纯利润总和（前年的总收入－前年的总支出费用－投资额）
（1）求的表达式，计算前多少年的纯利润总和最大，并求出最大值；
（2）计算前多少年的年平均纯利润最大，并求出最大值．
20. 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期为的分布列为
商场经销一件该商品，采用1期付款，基利润为200元；分2期或3期付款，基利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．
（1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款的概率；
（2）求的分布列及期望．
21.
如图，在矩形中，点分别
在线段上，.沿直线
将翻折成，使平面.
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四
边形向上翻折，使与重合，求线段
的长．
22. 已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点，当L的斜率为1时，坐标原点O到L的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）在C上是否存在点P，使得当L绕F转到某一位置时，有成立?若存在，求出所有的P的坐标与L的方程；若不存在，说明理由.1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1