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    2022-2023学年江西省南昌市新建区第二中学高二下学期4月份期中学业水平考核数学试题
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    2022-2023学年江西省南昌市新建区第二中学高二下学期4月份期中学业水平考核数学试题

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    这是一份2022-2023学年江西省南昌市新建区第二中学高二下学期4月份期中学业水平考核数学试题,文件包含江西省南昌市新建区第二中学高二下学期4月份期中学业水平考核数学试题原卷版docx、江西省南昌市新建区第二中学高二下学期4月份期中学业水平考核数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共21页, 欢迎下载使用。

    命题人:熊柏林 审题人:肖英文 考试范围:数列、函数与导数
    考试用时:120分钟 试卷满分:150分
    本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.
    注意:把答案写在答题卡指定区域内相应位置上.
    第I卷 (选择题 共60分)
    一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 已知等差数列中,,公差,则等于( ).
    A. B. C. 24D. 27
    【答案】A
    【解析】
    【分析】利用等差数列的通项公式进行求解即可.
    【详解】因为等差数列中,,公差,
    所以,
    故选:A
    2. 函数在区间上的平均变化率为( )
    A. 2B. 3C. 5D. 4
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据平均变化率的知识求得正确答案.
    【详解】当时,;当时,.
    所以函数在区间上的平均变化率为.
    故选:C
    3. 已知函数可导,且满足,则函数在x=3处的导数为( )
    A. 2B. 1C. -1D. -2
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据导数的定义即可得到答案.
    【详解】由题意,,所以.
    故选:D.
    4. 已知实数列、、、、成等比数列,则( )
    A. B. 4C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】求出的值,利用等比中项的性质可求得结果.
    【详解】设等比数列、、、、的公比为,则,
    由等比中项的性质可得,所以,,
    因此,.
    故选:C.
    5. 已知函数,函数的单调递减区间为( ).
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    分析】求导,令求解即可.
    【详解】
    令即,解得,
    所以函数的单调递减区间为.
    故选:A
    6. 点P在曲线上移动,设点P处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是( )
    A. [0,B. C. D. [0,
    【答案】D
    【解析】
    【分析】结合导数的几何意义求出切线的斜率的取值范围,进而根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围即可求出结果.
    【详解】因为,所以,因为,所以,又,所以,
    故选:D.
    7. 若函数有两个不同的极值点,则实数a的取值范围为( ).
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据函数极值点的定义,结合二次函数的性质、数形结合思想、转化法进行求解即可.
    【详解】由,
    当时,函数单调递增,在时,该函数单调递减,
    当时,函数有最大值,且,且函数的对称轴为,
    所以当时,有两个不同的极值点,等价于直线与函数有两个不同的交点,所以,
    故选:B
    8. 已知函数是定义在上的可导函数,其导函数为,若,且,则关于的不等式的解集为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】依题意令,求导分析单调性,不等式,可转化为,即,即可得出答案.
    【详解】解:依题意令,则,
    所以在上单调递减,
    对于不等式,显然,则,即,
    又,所以,
    所以,即,
    所以,
    解得,即关于的不等式的解集为.
    故选:B.
    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
    9. 下列结论中不正确的是( )
    A. B.
    C. D. 若,则
    【答案】AC
    【解析】
    【分析】根据导数公式和导数运算律,复合函数求导分别判断各个选项即可.
    【详解】对于A选项:,故A错误;
    对于B选项: 根据导数运算律可得,故B正确;
    对于C选项: 故C错误;
    对于D选项:根据复合函数导数运算 ,,故D正确.
    故选 :AC.
    10. 已知数列,满足,,为的前n项和,且,,则( ).
    A. 数列为等差数列B.
    C. D. 或时,取得最大值
    【答案】AB
    【解析】
    【分析】根据等差数列的定义、结合等差数列的前n项和公式、通项公式逐一判断即可.
    【详解】由,所以数列为等差数列,因此选项A正确;
    设该等差数列的公差为,因为,,
    所以有,
    ,因此选项B正确,选项C不正确;
    因为,
    所以或时,取得最大值,因此选项D不正确,
    故选:AB
    11. 若函数在区间上不单调,则实数的值可能是( )
    A. 2B. 3C. D. 4
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】利用导函数判断的单调区间进行求解即可.
    【详解】的定义域为,所以,A错误;
    由题意可得,令解得,
    所以当时,,单调递减,
    当时,,单调递增,
    因为在区间上不单调,所以,即,
    选项B:当时,,正确;
    选项C:当时,,
    所以,正确;
    选项D:当时,,错误;
    故选:BC
    12. 已知函数,,若,,不等式成立,则的可能值为( )
    A. 4B. 3C. 2D. 1
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】问题等价于,通过导数求出两个函数的最小值即可.
    【详解】,若,则,则在单调递增, ;
    若,则在单减,在单增,,∴.
    ,则在单调递增,在单调递减,,
    ∴.
    ∵,,不等式成立,
    ∴若,,成立;
    若,,即,令,∴,∴h(x)在(1,+∞)单增.
    而,,,.
    故选:BCD.
    【点睛】本题在求的最小值时需要对参数k进行讨论,本题对参数的讨论非常典型注意总结;当进行到这一步时,需要构造函数求出k的值,式子比较经典,一定要熟练掌握.
    第II卷(非选择题 共90分)
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共计20分.
    13. 已知函数,则的单调递增区间是___________.
    【答案】(填也可以)
    【解析】
    【分析】由题得,解即得函数的单调递增区间.
    【详解】由题得,

    令得,
    所以的单调递增区间为.
    故答案为:(填也可以)
    14. 若是等差数列的前项和,且,则______.
    【答案】2
    【解析】
    【分析】根据等差数列前项和公式,结合等差数列的通项公式进行求解即可.
    【详解】设等差数列的公差为,由,得,化简得,所以.
    故答案为:2
    15. 已知数列为等比数列,且,设等差数列的前n项和为,若,则__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据等比数列的性质可得,然后结合等差数列的前项和公式,即可得到结果.
    【详解】因为数列为等比数列,且,
    所以,解得或(舍)
    即,又因为数列为等差数列,

    故答案为:.
    16. 函数在区间上有最大值,则的取值范围是________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】求函数导数,研究函数单调性,判断其取最大值的位置,由于函数在区间上有最大值,故最大值对应的横坐标应在区间内,由此可以得到参数的不等式,解不等式即可得到的取值范围
    【详解】,,
    令 解得;令 ,解得或,
    由此可得在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数,
    故函数在处有极大值,在处有极小值,
    即,解得,
    故答案为:
    四、解答题:本大题共6小题,共计70分.
    17. 已知等比数列中,
    (1)求的通项公式;
    (2)令求数列{}的前n项和
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)设出等比数列公比,利用已知条件列出关系式,即可求解公比,
    然后求数列的通项公式;
    (2)通过, 得到数列通项公式,然后利用裂项相消法
    求解数列的前项和.
    【小问1详解】
    设等比数列的公比为,
    因为,所以.
    所以,解得.
    所以数列的通项公式为.
    【小问2详解】
    由(1)知,,
    所以,,
    所以
    所以数列的前项和为
    .
    18. 已知函数且在上单调递增,在 上单调递减,又函数.
    (1)求函数 的解析式;
    (2)求证当时,.
    【答案】(1) (2)证明见解析
    【解析】
    【分析】(1)根据求得的导数和单调区间,即可得到极值点,进而根据方程组即可得到解析式.
    (2)构造函数,令,再求得导数,在的条件下求得最小值,进而证明原不等式成立.
    【详解】(1)求导函数得
    因为在 上单调递增

    则函数的极值点为
    则 ,解方程组得

    (2)证明:令
    ∵时



    原式得证
    【点睛】本题考查了导数与单调性、极值的综合应用,利用构造函数法证明不等式,属于基础题.
    19. 已知数列为等差数列,为等比数列,且.
    (1)求的通项公式;
    (2)求数列的前项和.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)设数列的公差为的公比为,由题可得关于d与q的方程,解之可得答案;
    (2)由(1)结合错位相减法可得答案.
    【小问1详解】
    设数列的公差为的公比为,由已知得,

    解得.则.
    【小问2详解】
    由(1)可得,
    则,
    .
    两式相减得

    所以.
    20. 已知函数.
    (1)讨论的单调性;
    (2)若有两个零点,求a的取值范围;
    【答案】(1)函数在上单调递增,在上单调递减.
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)求导,根据导数的正负确定函数的单调性即可;
    (2)参变分离,构造函数,求导研究函数图象的单调性及极值,最值情况,求出的取值范围.
    【小问1详解】
    由题意可知,函数的定义域为,
    易得,令可得,
    当时,,函数为单调递减,
    当时,,函数为单调递增,
    所以函数在上单调递增,在上单调递减.
    【小问2详解】
    根据题意,若有两个零点,即方程有两个实数根,
    所以函数与有两个不同的交点,
    由(1)知,在上单调递增,在上单调递减,
    所以函数在时取极大值,也是最大值,
    且时,;时,; 时,,
    画出函数如右图所示:

    由图可知,若函数与有两个不同的交点,则,
    即a的取值范围为.
    21. 已知函数,其中.
    (1)当时,求曲线在点处的切线方程;
    (2)当时,求函数的单调区间与极值.
    【答案】(1)
    (2)见解析
    【解析】
    【分析】(1)根据题意得到函数的解析式,从而得到切点坐标和导函数,根据导函数在切点的函数值等于切线的斜率求解切线斜率,进而得到切线方程;
    (2)对函数求导,对参数的取值范围分类讨论,根据导函数的符号确定函数的单调区间和极值.
    【小问1详解】
    当时,,,
    又,.
    所以曲线在点处的切线方程为,
    即.
    【小问2详解】

    由于,以下分两种情况讨论.
    ①当时,令,得到,.当变化时,的变化情况如下表:
    所以的单调递减区间为,,单调递增区间为.
    函数在处取得极小值,且,
    函数在处取得极大值,且.
    ②当时,令,得到,当变化时,的变化情况如下表:
    所以的单调递增区间为,,单调递减区间为.
    函数在处取得极大值,且.
    函数在处取得极小值,且.
    22. 已知函数,.
    (1)当时,求函数的极值;
    (2)若任意且,都有成立,求实数的取值范围.
    【答案】(1)极小值为,无极大值
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)求出函数的导函数,即可得到函数的单调区间,从而求出函数的极值;
    (2)不妨令,则问题等价于,令,只需证明在单调递增,问题等价于在时恒成立,参变分离得到,,再构造函数,利用导数求出的最大值,即可得解.
    【小问1详解】
    解:当时,,.
    则,令,解得或,
    又因为,所以.
    列表如下:
    因为函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以有极小值,无极大值.
    【小问2详解】
    解:因,,
    所以,,
    若对任意且恒成立
    不妨令,则

    令,只需证明在单调递增,
    因为,则,
    所以在时恒成立,即,,
    令,,则,
    因为,所以令,解得,令,解得,
    从而在区间上单调递增,在区间上单调递减,
    所以当时取到最大值,所以实数的取值范围是.
    【点睛】思路点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
    0
    0
    单调递减
    极小值
    单调递增
    极大值
    单调递减
    0
    0
    单调递增
    极大值
    单调递减
    极小值
    单调递增
    x
    2
    单调递减
    极小值
    单调递增
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